Regula lui Laplace - Ce este, definiție și concept

Regula lui Laplace este o metodă care vă permite să calculați rapid determinantul unei matrice pătrate cu dimensiunea 3 × 3 sau mai mare prin intermediul unei serii de expansiune recursivă.

Cu alte cuvinte, regula lui Laplace factorizează matricea inițială în matrici cu dimensiuni inferioare și își ajustează semnul pe baza poziției elementului în matrice.

Această metodă poate fi realizată folosind rânduri sau coloane.

Articole recomandate: matrici, tipologii matriciale și determinant al unei matrice.

Formula regulii lui Laplace

Având în vedere o matrice Z_mxn orice dimensiune mxn,unde m = n, se extinde față de al doilea rând, apoi:

• D_ijeste determinantul obținut prin eliminarea rândului i și a coloanei a Z_mxn.

• M_ijeste i, j-th Mai puțin. Determinantul D_ijîn funcție de M_ijse numește i, j-th cofactora matricei Z_mxn.
• la este setarea semnului poziției.

Exemplu teoretic al regulii lui Laplace

Noi definim LA_3×3 Ce:

1. Să începem cu primul element a₁₁. Radeți rândurile și coloanele care alcătuiesc₁₁. Elementele care rămân fără grătar, vor fi primul determinant Mai puțin înmulțit cu a₁₁.

2. Continuăm cu al doilea element al primului rând, adică la₁₂. Repetăm ​​procesul: grătăm rândurile și coloanele care conțin₁₂.

Reglăm semnul minorului:

Adăugăm al doilea determinant Mai puținla rezultatul anterior și formăm o serie de expansiune astfel încât:

3. Continuăm cu al treilea element al primului rând, adică la₁₃. Repetăm ​​procesul: grătăm rândul și coloana care conțin₁₃.

Adăugăm al treilea determinant Mai puțin la rezultatul anterior și extindem seria de expansiune astfel încât:

Deoarece nu mai sunt elemente rămase în primul rând, atunci închidem procesul recursiv. Calculăm determinanții minori.

În același mod în care au fost utilizate elemente din primul rând, această metodă poate fi aplicată și cu coloane.

Exemplul practic al regulii lui Laplace

Noi definim LA_3×3Ce:

1. Să începem cu primul element r₁₁= 5. Radeți rândurile și coloanele care alcătuiesc₁₁= 5. Elementele care rămân fără grătar, vor fi primul determinant Mai puțin înmulțit cu a₁₁=5.

2. Continuăm cu al doilea element al primului rând, adică r₁₂= 2. Repetăm ​​procesul: grătăm rândurile și coloanele care conțin r₁₂=2.

Reglăm semnul minorului:

Adăugăm al doilea determinant Mai puțin la rezultatul anterior și formăm o serie de expansiune astfel încât:

3. Continuăm cu al treilea element al primului rând, adică r₁₃= 3. Repetăm ​​procesul: grătăm rândul și coloana care conțin r₁₃=3.

Adăugăm al treilea determinant Mai puțin la rezultatul anterior și extindem seria de expansiune astfel încât:

Determinantul matriceiR_3×3 este 15.