Regula lui Laplace este o metodă care vă permite să calculați rapid determinantul unei matrice pătrate cu dimensiunea 3 × 3 sau mai mare prin intermediul unei serii de expansiune recursivă.
Cu alte cuvinte, regula lui Laplace factorizează matricea inițială în matrici cu dimensiuni inferioare și își ajustează semnul pe baza poziției elementului în matrice.
Această metodă poate fi realizată folosind rânduri sau coloane.
Articole recomandate: matrici, tipologii matriciale și determinant al unei matrice.
Formula regulii lui Laplace
Având în vedere o matrice Zmxn orice dimensiune mxn,unde m = n, se extinde față de al doilea rând, apoi:
- Dijeste determinantul obținut prin eliminarea rândului i și a coloanei a Zmxn.
- Mijeste i, j-th Mai puțin. Determinantul Dijîn funcție de Mijse numește i, j-th cofactora matricei Zmxn.
- la este setarea semnului poziției.
Exemplu teoretic al regulii lui Laplace
Noi definim LA3×3 Ce:
- Să începem cu primul element a11. Radeți rândurile și coloanele care alcătuiesc11. Elementele care rămân fără grătar, vor fi primul determinant Mai puțin înmulțit cu a11.
2. Continuăm cu al doilea element al primului rând, adică la12. Repetăm procesul: grătăm rândurile și coloanele care conțin12.
Reglăm semnul minorului:
Adăugăm al doilea determinant Mai puținla rezultatul anterior și formăm o serie de expansiune astfel încât:
3. Continuăm cu al treilea element al primului rând, adică la13. Repetăm procesul: grătăm rândul și coloana care conțin13.
Adăugăm al treilea determinant Mai puțin la rezultatul anterior și extindem seria de expansiune astfel încât:
Deoarece nu mai sunt elemente rămase în primul rând, atunci închidem procesul recursiv. Calculăm determinanții minori.
În același mod în care au fost utilizate elemente din primul rând, această metodă poate fi aplicată și cu coloane.
Exemplul practic al regulii lui Laplace
Noi definim LA3×3Ce:
1. Să începem cu primul element r11= 5. Radeți rândurile și coloanele care alcătuiesc11= 5. Elementele care rămân fără grătar, vor fi primul determinant Mai puțin înmulțit cu a11=5.
2. Continuăm cu al doilea element al primului rând, adică r12= 2. Repetăm procesul: grătăm rândurile și coloanele care conțin r12=2.
Reglăm semnul minorului:
Adăugăm al doilea determinant Mai puțin la rezultatul anterior și formăm o serie de expansiune astfel încât:
3. Continuăm cu al treilea element al primului rând, adică r13= 3. Repetăm procesul: grătăm rândul și coloana care conțin r13=3.
Adăugăm al treilea determinant Mai puțin la rezultatul anterior și extindem seria de expansiune astfel încât:
Determinantul matriceiR3×3 este 15.