Punct de inflexiune - Ce este, definiție și concept

Punctul de inflexiune al unei funcții matematice este acel punct în care graficul care o reprezintă își schimbă concavitatea. Adică trece de la a fi concav la a fi convex sau invers.

Punctul de inflexiune, cu alte cuvinte, este acel moment în care funcția își schimbă tendința.

Pentru a ne face o idee, să începem prin a o privi într-o reprezentare grafică, aproximativ:

Trebuie remarcat faptul că o funcție poate avea mai mult de un punct de inflexiune sau deloc. De exemplu, o linie nu are un punct de inflexiune.

Să vedem, în graficul următor, un exemplu de funcție cu mai multe puncte de inflexiune:

De asemenea, în termeni matematici, punctul de inflexiune este calculat prin stabilirea celei de-a doua derivate a funcției egală cu zero. Astfel, rezolvăm rădăcina (sau rădăcinile) acelei ecuații și o vom numi Xi.

Apoi înlocuim Xi în a treia derivată a funcției. Dacă rezultatul este diferit de zero, ne confruntăm cu un punct de inflexiune.

Cu toate acestea, dacă rezultatul este zero, trebuie să înlocuim derivatele succesive, până când valoarea acestei derivate, fie ea a treia, a patra sau a cincea, este diferită de 0. Dacă derivata este impară, este un punct de inflexiune, dar dacă este chiar nu.

Exemplu de punct de cotitură

În continuare, să vedem un exemplu.

Să presupunem că avem următoarea funcție:

y = 2x⁴+ 5x³+ 9x + 14

y ’= 8x³+ 15x²+9

y »= 24x²+ 30x = 0

24x = -30

Xi = -1,25

Apoi înlocuim Xi în a treia derivată:

y »’ = 48x

y »’ = 48x-1,25 = -60

Deoarece rezultatul este diferit de zero, ne găsim în fața unui punct de inflexiune care ar fi atunci când x este egal cu -1,25 și y este egal cu -2,1328, așa cum se arată în graficul următor.

În aceasta se observă că funcția are un punct de inflexiune:

Acum, să ne uităm la un alt exemplu:

y = x⁴-54x²

y ’= 4x³-108x

y »= 12x²-108=0

X²=9

Xi = 3 și -3

Apoi, înlocuim cele două rădăcini găsite în a treia derivată:

y »’ = 24x

y »’ = 24 × 3 = 72

y »’ = 24x-3 = -72

Deoarece rezultatul este diferit de zero, avem două puncte de inflexiune la (3.567) și (-3.567).

Pentru a completa informațiile, vă invităm să vizitați articolul de flexiune, unde acoperim acest concept într-un mod mai general: