Centrul de greutate al unui triunghi este punctul în care se intersectează medianele figurii. Este, de asemenea, cunoscut sub numele de centroid.
Trebuie amintit că mediana este segmentul care unește vârful triunghiului cu punctul mediu al laturii sale opuse. Astfel fiecare triunghi are trei mediane.
De exemplu, în triunghiul de mai sus, centrul de greutate este punctul O, medianele fiind segmentele AF, BD și CE.
O proprietate importantă a centrului de greutate este că distanța sa de fiecare vârf este de două ori distanța față de partea opusă.
Pentru a o explica mai bine, se pot distinge două părți în fiecare mediană:
- Distanța de la vârf la centrul de greutate, care este 2/3 din lungimea medianei
- 1/3 rămas, care este distanța de la centrul de greutate până la punctul mediu al părții opuse.
În imaginea de mai sus, de exemplu, este adevărat că:
Cum se găsește centrul de greutate al unui triunghi
Pentru a găsi centrul de greutate al triunghiului trebuie să ținem cont că, cunoscând coordonatele celor trei vârfuri ale triunghiului, coordonatele centrului de greutate corespund mediei sale aritmetice. Deci, să presupunem că vârfurile sunt:
Apoi, coordonatele centrului de greutate, pe care le vom numi O, ar fi:
Acum, este de asemenea posibil să găsim centrul de greutate dacă avem ecuațiile liniilor care conțin cel puțin două dintre mediane.
Amintiți-vă că în geometria analitică, o linie poate fi exprimată ca o ecuație algebrică de ordinul întâi ca:
y = xm + b
În ecuația prezentată, y este coordonata pe axa ordonată (verticală), x este coordonata pe axa abscisei (orizontală), m este panta (înclinarea) care formează linia față de axa abscisei și b este punctul în care linia intersectează axa ordonată.
Pentru a înțelege mai bine cele de mai sus, să ne uităm la un exemplu.
Exemplu de centru de greutate
Să presupunem că avem un triunghi din care știm două dintre vârfurile sale:
A (0,4) și B (-2,1)
Acum, se știe în plus că punctul mediu al vârfului lateral opus A este (3,1), iar punctul mediu al latului opus vârfului B este (4, 2,5). Merită să clarificăm că folosim punct și virgula pentru a nu fi confundați cu virgula care separă zecimalele.
Mai întâi vom găsi ecuația liniei care conține mediana care începe de la vârful A, ținând cont că panta la trecerea dintr-un punct în altul trebuie să fie întotdeauna aceeași. Panta este variația axei verticale între variația axei orizontale:
Ceea ce am făcut este să presupunem că linia trece printr-un punct (x1, y1), care este vârful A (0, 4) și prin punctul (x2, y2) care este punctul mijlociu al laturii sale opuse (3, 1).
Apoi, facem același lucru cu vârful B (-2,1) și punctul de mijloc al laturii sale opuse (-4, -2,5):
Pasul următor, egalizăm partea dreaptă a celor două ecuații găsite pentru a rezolva valoarea de pe axa X când ambele coincid:
Apoi rezolvăm în oricare dintre ecuații pentru a găsi valoarea lui y:
Prin urmare, centrul de greutate al triunghiului este punctul (2,2) din planul cartezian.
