Geometria fractală este acea ramură a geometriei care studiază fractalii. Acestea sunt obiecte complexe, cu o structură care se repetă atunci când o observăm la diferite scări.
Fractalele, cu alte cuvinte, sunt alcătuite din părți similare întregului și sunt structuri neregulate. Să ne gândim la un cap de broccoli, care atunci când îl împărțim este împărțit în mai multe broccoli mai mici.
Geometria fractală s-a născut din nevoia de a avea o mai bună apropiere de realitate, din moment ce geometria plană și geometria spațiului studiază figuri și corpuri pe care, foarte greu, le găsim în natură.
Luați în considerare faptul că munții nu sunt conuri și că chiar și piramidele Egiptului, dacă le privim cu atenție, vor avea anumite nereguli pe suprafața lor. Aceste imperfecțiuni sunt numite cu calitatea rugozității și este o caracteristică care adaugă geometrie fractală obiectelor, care nu mai au doar perimetru, suprafață și volum.
Originea geometriei fractale
Originea geometriei fractale este inițiată de matematicianul Benoit Mandelbrot, precum și de cea mai mare lucrare literară a sa: „Geometria fractală a naturii”, publicată în 1982.
Cuvântul fractal provine din cuvântul latin „fractus”, care înseamnă rupt sau fracturat și a fost inventat de Mandelbrot în 1975.
Merită menționat faptul că, deși Mandelbrot a oficializat studiul economiei fractale, el nu a fost primul care a observat existența fractalilor în natură. De exemplu, dacă ne uităm la lucrarea cunoscutului pictor japonez Katsushika Hokusai, vom vedea acel concept aplicat (și Mandelbrot însuși l-a menționat într-un interviu). De exemplu, în tabloul „Marele val”, observăm cum în interiorul valului există alte valuri mai mici.
Caracteristicile unui fractal
Principalele caracteristici ale unui fractal sunt următoarele:
- Asemănarea de sine: Se referă la ceea ce am menționat deja înainte. Dacă privim o parte a fractalului la o scară mai mare (mai atent), aceasta va arăta la fel ca întregul obiect. Adică, partea este similară cu întreaga, deși acest lucru nu este întotdeauna exact adevărat. De exemplu, să ne imaginăm un romb format din multe romburi mici. Deși dimensiunea acestor romburi variază puțin, ar fi un fractal.
- Dimensiunea fractală nu este egală cu dimensiunea topologică: Pentru a explica dimensiunea topologică, să ne imaginăm că avem un plan împărțit în grile, ca o plasă. Așa că trasez o linie care trece prin 2 grile. Dacă aș împărți toate grilele de plasă în două, linia ar trece prin 4 grile. Adică, se înmulțește cu 2, care este egal cu factorul de reducere (2) crescut la 1 (2 = 21), care, în valoare de redundanță, este numărul de dimensiuni ale liniei. Acum, dacă avem un poligon, o figură bidimensională, se întâmplă ceva similar. De exemplu, dacă avem un pătrat care se întinde pe patru grile și aplicăm din nou un factor de reducere de 2, pătratul va cuprinde 16 grile. Adică, numărul de grile (4) este înmulțit cu 4, care este 2 ridicat la 2 (2 = 22), exponentul fiind numărul de dimensiuni pătrate. Cu toate acestea, toate cele de mai sus nu sunt adevărate la fractali.
- Nu se disting în niciun moment: Aceasta înseamnă, în termeni matematici, că derivata funcției reprezentate nu poate fi calculată. În termeni vizuali, înseamnă că graficul nu este continuu, dar are vârfuri, deci nu este posibil să se facă derivarea.
Aplicarea geometriei fractale
Geometria fractală poate fi aplicată în diferite domenii. De exemplu, în 1940, Lewis Fry Richardson observase că diferite granițe între țară și țară se schimbau în funcție de scara de măsurare. Adică, dacă măsurăm un contur geografic, rezultatul va diferi în funcție de lungimea riglei care este utilizată. Aceasta a servit drept referință pentru Mandelbrot în articolul său din 1967, publicat în revista Science: „Cât timp este coasta Marii Britanii?”
Se poate explica, dacă luăm în considerare faptul că teritoriile geografice sunt fractale și, pe măsură ce le vedem la o scară mai mare, vedem mai multe nereguli.
O altă aplicație a geometriei fractale este analiza mișcărilor și mișcărilor seismice pe piața de valori.
În plus, trebuie să recunoaștem că fractalele au servit ca inspirație pentru artiști precum Hokusa menționată mai sus și avem și cazul lui Jackson Pollock.