Forma pătratică a matricei este produsul înmulțirii unui vector de ordinul n cu orice matrice pătrată prin vectorul de ordine n transpus.
Cu alte cuvinte, forma pătratică a matricei este o combinație liniară a unei matrice pătrate, a unui vector de ordinul n și a transpunerii acelui vector.
Articol recomandat: operații cu matrice.
Matrix Quadratic Form Formula
Dat fiind o matrice pătrată Z de ordinul n și un vector h de n dimensiuni, putem scrie expresia numită formă pătratică a formei:
Rezultatul formei pătratice va fi întotdeauna un scalar, adică un singur număr, nu o matrice.
Aplicații
Forma pătratică matricială este utilizată pentru a găsi gradul de pozitivitate și negativitate a matricilor definite. În funcție de valorile vectorului h, valoarea formei pătratice va fi zero (0), pozitivă sau negativă.
Odată ce am obținut forma pătratică putem spune că am „definit” matricea. Deci, putem vorbi despre o matrice definită. Această matrice poate fi pozitivă definită, pozitivă semi-definită, negativă definitivă și negativă semi-definită.
Exemplu practic
Găsirea formei pătratice a matricei pătrate Z dat un vector h:
Proces
Mai întâi transpunem vectorul h.
Apoi aplicăm formula formei pătratice.
După cum am mai spus, rezultatul formei pătratice va fi întotdeauna un singur număr. În acest caz este un număr strict pozitiv.
Dar … Cum se poate ca rezultatul să fie un număr concret și nu o matrice dacă înmulțim matricile?
Reducerea dimensiunii matricei din multiplicare are loc deoarece înmulțim matricile care împărtășesc același număr de coloane și rânduri.
Demonstrație:
Din produsul matricial Z iar din vectorul transpus h rămâne un vector cu dimensiunea 3 × 1. În același mod, produsul vectorului rezultat și vectorul h rămâne o matrice de dimensiune 1 × 1. O matrice de dimensiunea 1 × 1 este un scalar.
Deci, dacă calculăm forma pătratică a unei matrice și obținem o matrice cu o dimensiune mai mare de 1 × 1 (obținem un alt rezultat decât un anumit număr), va însemna că am făcut o greșeală într-un anumit pas și că rezultatul este greșit.