Proprietățile valorilor așteptate

Valoarea așteptată a unei variabile aleatorii este conceptul analog algebrei matematice care are în vedere media aritmetică a setului de observații ale variabilei menționate.

Cu alte cuvinte, valoarea așteptată a unei variabile aleatorii este valoarea care apare cel mai frecvent de-a lungul repetării experimentului de mai multe ori.

Proprietățile valorilor așteptate ale unei variabile aleatorii

Valoarea așteptată a unei variabile aleatorii are trei proprietăți pe care le dezvoltăm mai jos:

Proprietatea 1

Pentru orice constantă g, valoarea așteptată a acestei constante va fi exprimată ca E (g) și va fi aceeași constantă g. Matematic:

E (g) = g

Deoarece g este o constantă, adică nu depinde de nicio variabilă, valoarea sa va rămâne aceeași.

Exemplu

Care este valoarea așteptată de 1? Cu alte cuvinte, ce valoare atribuim numărului 1?

E (1) =?

Exact, atribuim valoarea 1 numărului 1 și valoarea acestuia nu se va schimba, indiferent de cât de mulți ani trec sau de dezastrele naturale. Deci, avem de-a face cu o variabilă constantă și, prin urmare:

E (1) = 1 sau E (g) = g

Ei pot încerca alte numere.

Proprietatea 2

Pentru orice constantă h și k, valoarea așteptată a liniei h · X + k va fi egală cu constanta h înmulțită cu așteptarea variabilei aleatoare X plus constanta k. Matematic:

E (h X + k) = h E (X) + k

Uită-te atent, nu îți amintește de o dreaptă foarte faimoasă? Exact, linia de regresie.

Dacă înlocuim:

E (hX + k) = Y

E (X) = X

k = B₀

h = B₁

Avea:

Y = B₀ + B₁X

Când se estimează coeficienții B₀ , B₁ , adică B₀ , B₁ , acestea rămân aceleași pentru întregul eșantion. Deci, aplicăm proprietatea 1:

E (B₀) = B₀

E (B₁) = B₁

Aici găsim și proprietatea imparțialității, adică valoarea așteptată a estimatorului este egală cu valoarea populației sale.

Revenind la E (h · X + k) = h · E (X) + k, este important să rețineți că Y este E (h · X + k) atunci când trageți concluzii din liniile de regresie. Cu alte cuvinte, ar fi să spunem că atunci când X crește cu unul, Y crește cu jumătate h unități, deoarece Y este valoarea așteptată a liniei h · X + k.

Proprietatea 3

Dacă H este un vector al constantelor și X este un vector al variabilelor aleatorii, atunci valoarea așteptată poate fi exprimată ca suma valorilor așteptate.

H = (h₁ , h_2, , …, h_n)

X = (X₁ , X_2, ,…, X_n)

Hei₁X₁ + h₂X₂ + … + H_nX_n) = h₁·FOST₁) + h₂·FOST₂) + … + H_n·FOST_n)

Exprimat cu sume:

Această proprietate este foarte utilă pentru derivări în domeniul statisticilor matematice.