Valoarea așteptată a unei variabile aleatorii este conceptul analog algebrei matematice care are în vedere media aritmetică a setului de observații ale variabilei menționate.
Cu alte cuvinte, valoarea așteptată a unei variabile aleatorii este valoarea care apare cel mai frecvent de-a lungul repetării experimentului de mai multe ori.
Proprietățile valorilor așteptate ale unei variabile aleatorii
Valoarea așteptată a unei variabile aleatorii are trei proprietăți pe care le dezvoltăm mai jos:
Proprietatea 1
Pentru orice constantă g, valoarea așteptată a acestei constante va fi exprimată ca E (g) și va fi aceeași constantă g. Matematic:
E (g) = g
Deoarece g este o constantă, adică nu depinde de nicio variabilă, valoarea sa va rămâne aceeași.
Exemplu
Care este valoarea așteptată de 1? Cu alte cuvinte, ce valoare atribuim numărului 1?
E (1) =?
Exact, atribuim valoarea 1 numărului 1 și valoarea acestuia nu se va schimba, indiferent de cât de mulți ani trec sau de dezastrele naturale. Deci, avem de-a face cu o variabilă constantă și, prin urmare:
E (1) = 1 sau E (g) = g
Ei pot încerca alte numere.
Proprietatea 2
Pentru orice constantă h și k, valoarea așteptată a liniei h · X + k va fi egală cu constanta h înmulțită cu așteptarea variabilei aleatoare X plus constanta k. Matematic:
E (h X + k) = h E (X) + k
Uită-te atent, nu îți amintește de o dreaptă foarte faimoasă? Exact, linia de regresie.
Dacă înlocuim:
E (hX + k) = Y
E (X) = X
k = B0
h = B1
Avea:
Y = B0 + B1X
Când se estimează coeficienții B0 , B1 , adică B0 , B1 , acestea rămân aceleași pentru întregul eșantion. Deci, aplicăm proprietatea 1:
E (B0) = B0
E (B1) = B1
Aici găsim și proprietatea imparțialității, adică valoarea așteptată a estimatorului este egală cu valoarea populației sale.
Revenind la E (h · X + k) = h · E (X) + k, este important să rețineți că Y este E (h · X + k) atunci când trageți concluzii din liniile de regresie. Cu alte cuvinte, ar fi să spunem că atunci când X crește cu unul, Y crește cu jumătate h unități, deoarece Y este valoarea așteptată a liniei h · X + k.
Proprietatea 3
Dacă H este un vector al constantelor și X este un vector al variabilelor aleatorii, atunci valoarea așteptată poate fi exprimată ca suma valorilor așteptate.
H = (h1 , h2, , …, hn)
X = (X1 , X2, ,…, Xn)
Hei1X1 + h2X2 + … + HnXn) = h1·FOST1) + h2·FOST2) + … + Hn·FOSTn)
Exprimat cu sume:
Această proprietate este foarte utilă pentru derivări în domeniul statisticilor matematice.