O distribuție binomială este o distribuție discretă de probabilitate care descrie numărul de succese atunci când se efectuează n experimente independente pe o variabilă aleatorie..
Există o mare diversitate de experimente sau evenimente care pot fi caracterizate sub această distribuție de probabilitate. Imaginați-vă o aruncare de monede în care definim evenimentul „lovind capul” drept succes. Dacă aruncăm moneda de 5 ori și numărăm loviturile (capetele) obținute, distribuția noastră de probabilitate s-ar potrivi unei distribuții binomiale.
Prin urmare, distribuția binomială este înțeleasă ca o serie de teste sau studii în care putem avea doar 2 rezultate (succes sau eșec), succesul fiind variabila noastră aleatorie.
Proprietățile distribuției binomiale
Pentru ca o variabilă aleatorie să fie considerată ca urmând o distribuție binomială, aceasta trebuie să îndeplinească următoarele proprietăți:
- În fiecare test, experiment sau test, sunt posibile doar două rezultate (succes sau eșec).
- Probabilitatea de succes trebuie să fie constantă. Aceasta este reprezentată de litera p. Probabilitatea ca o monedă să întoarcă capetele este de 0,5 și acest lucru este constant, deoarece moneda nu se schimbă în fiecare experiment și probabilitățile unei capete sunt constante.
- Probabilitatea de eșec trebuie să fie, de asemenea, constantă. Aceasta este reprezentată de litera q = 1-p. Este important de reținut că, prin intermediul acestei ecuații, cunoașterea p sau cunoașterea q, o putem obține pe cea care ne lipsește.
- Rezultatul obținut în fiecare experiment este independent de cel anterior. Prin urmare, ceea ce se întâmplă în fiecare experiment nu afectează următoarele.
- Evenimentele se exclud reciproc, adică nu pot avea loc ambele în același timp. Nu este posibil să fii bărbat și femeie în același timp sau ca atunci când arunci o monedă să iasă capete și cozi în același timp.
- Evenimentele sunt colectiv exhaustive, adică trebuie să aibă loc cel puțin unul din cele 2. Dacă nu ești bărbat, ești femeie și, dacă arunci o monedă, dacă nu iese în cap, trebuie să fie cozi.
- Variabila aleatorie care urmează unei distribuții binomiale este de obicei reprezentată ca X ~ (n, p), unde n reprezintă numărul de încercări sau experimente și p probabilitatea de succes.
Formula distribuției binomiale
Formula pentru a calcula distribuția normală este:
Unde:
n = Numărul de încercări / experimente
x = Numărul de succese
p = Probabilitatea de succes
q = Probabilitatea de eșec (1-p)
Este important să rețineți că expresia dintre paranteze pătrate nu este o expresie matricială, ci este rezultatul unei combinații fără repetare. Aceasta se obține cu următoarea formulă:
Punctul de exclamare din expresia precedentă reprezintă simbolul factorial.
Exemplu de distribuție binomială
Să ne imaginăm că 80% dintre oamenii din lume au văzut meciul final al ultimei Cupe Mondiale de fotbal. După eveniment, 4 prieteni se întâlnesc pentru a vorbi. Care este probabilitatea ca 3 dintre ei să fi văzut jocul?
Să definim variabilele experimentului:
n = 4 (este eșantionul total pe care îl avem)
x = numărul de succese, care în acest caz este egal cu 3, deoarece căutăm probabilitatea ca 3 din cei 4 prieteni să fi văzut-o.
p = probabilitatea de succes (0,8)
q = probabilitatea de eșec (0,2). Acest rezultat se obține scăzând 1-p.
După definirea tuturor variabilelor noastre, înlocuim pur și simplu formula.
Numărătorul factorialului s-ar obține înmulțind 4 * 3 * 2 * 1 = 24 și în numitor am avea 3 * 2 * 1 * 1 = 6. Prin urmare, rezultatul factorialului ar fi 24/6 = 4 .
În afara parantezei avem două numere. Primul ar fi 0,8 3 = 0,512 și al doilea 0,2 (deoarece 4-3 = 1 și orice număr crescut la 1 este același).
Prin urmare, rezultatul nostru final ar fi: 4 * 0,512 * 0,2 = 0,4096. Dacă înmulțim cu 100, avem 40,96% probabilitate ca 3 din cei 4 prieteni să fi văzut meciul final al Cupei Mondiale.