Teorema lui Bayes este utilizată pentru a calcula probabilitatea unui eveniment, având informații în avans despre acel eveniment.
Putem calcula probabilitatea unui eveniment A, știind, de asemenea, că acel A îndeplinește o anumită caracteristică care determină probabilitatea acestuia. Teorema lui Bayes înțelege probabilitatea invers față de teorema probabilității totale. Teorema probabilității totale face inferență despre un eveniment B, din rezultatele evenimentelor A. La rândul său, Bayes calculează probabilitatea lui A condiționată de B.
Teorema lui Bayes a fost larg pusă la îndoială. Ceea ce s-a datorat în principal datorită aplicației sale proaste. Întrucât, atât timp cât sunt îndeplinite ipotezele despre evenimente disjuncte și exhaustive, teorema este total valabilă.
Formula teoremei Bayes
Pentru a calcula probabilitatea definită de Bayes în acest tip de eveniment, avem nevoie de o formulă. Formula este definită matematic ca:
Unde B este evenimentul despre care avem informații anterioare și A (n) sunt diferitele evenimente condiționate. În partea numărătorului avem probabilitatea condițională, iar în partea inferioară probabilitatea totală. În orice caz, deși formula pare un pic abstractă, este foarte simplă. Pentru a demonstra acest lucru, vom folosi un exemplu în care în loc de A (1), A (2) și A (3), vom folosi direct A, B și C.
Exemplul teoremei Bayes
O companie are o fabrică în Statele Unite care are trei utilaje, A, B și C, care produc recipiente pentru sticle de apă. Se știe că mașina A produce 40% din cantitatea totală, mașina B 30% și mașina C 30%. Fiecare mașină este, de asemenea, cunoscută pentru a produce ambalaje defecte. În așa fel încât mașina A produce 2% din pachetele defecte din producția sa totală, mașina B 3% și mașina C 5%. Acestea fiind spuse, apar două întrebări:
P (A) = 0,40 P (D / A) = 0,02
P (B) = 0,30 P (D / B) = 0,03
P (C) = 0,30 P (D / C) = 0,05
1. Dacă un container a fost fabricat de fabrica acestei companii din Statele Unite, care este probabilitatea ca acesta să fie defect?
Probabilitatea totală este calculată. Deoarece, din diferite evenimente, calculăm probabilitatea ca acesta să fie defect.
P (D) = (P (A) x P (D / A)) + (P (B) x P (D / B)) + (P (C) x P (D / C)) = (0, 4 x 0,02) + (0,3 x 0,03) + (0,3 x 0,05) = 0,032
Exprimat procentual, am spune că probabilitatea ca un container fabricat de fabrica acestei companii din Statele Unite să fie defectă este de 3,2%.
2. Continuând cu întrebarea anterioară, dacă un container este achiziționat și este defect, care este probabilitatea ca acesta să fie fabricat de mașina A? Și de mașina B? Și de mașina C?
Teorema lui Bayes este folosită aici. Avem informații prealabile, adică știm că ambalajul este defect. Desigur, știind că este defect, vrem să știm care este probabilitatea ca acesta să fie produs de una dintre mașini.
P (A / D) = (P (A) x P (D / A)) / P (D) = (0,40 x 0,02) / 0,032 = 0,25
P (B / D) = (P (B) x P (D / B)) / P (D) = (0,30 x 0,03) / 0,032 = 0,28
P (C / D) = (P (C) x P (D / C)) / P (D) = (0,30 x 0,05) / 0,032 = 0,47
Știind că un container este defect, probabilitatea ca acesta să fie produs de mașina A este de 25%, că a fost produs de mașina B este de 28% și că a fost produs de mașina C este de 47%.