Proprietățile estimatorilor sunt calitățile pe care acestea le pot avea și care servesc la alegerea celor care sunt mai capabili să dea rezultate bune.
Pentru a începe prin definirea conceptului de estimator, vom spune că, dat fiind orice eșantion aleatoriu (x1, X2, X3,…, Xn) un estimator reprezintă o populație care depinde de φ un parametru pe care nu îl cunoaștem.
Acest parametru, pe care îl notăm cu litera greacă fi (φ), poate fi, de exemplu, media oricărei variabile aleatorii.
Matematic, un estimator Q cu un parametru depinde de observațiile aleatorii din eșantion (x1, X2, X3,…, Xn) și o funcție cunoscută (h) a eșantionului. Estimatorul (Q) va fi o variabilă aleatorie, deoarece depinde de eșantionul care conține variabile aleatoare.
Q = h (x1, X2, X3,…, Xn)
Imparțialitatea unui estimator
Un estimator Q al lui φ este un estimator imparțial dacă E (Q) = φ pentru toate valorile posibile ale lui We. Definim E (Q) ca valoarea așteptată sau așteptarea estimatorului Q.
În cazul estimatorilor părtinitori, această părtinire ar fi reprezentată ca:
Bias (Q) = E (Q) - φ
Putem vedea că polarizarea este diferența dintre valoarea așteptată a estimatorului, E (Q) și valoarea reală a parametrului populației, φ.
Estimare punctualăEficiența unui estimator
Da Q1 și Q2 sunt doi estimatori imparțiali ai lui φ, relația lor cu Q va fi eficientă2 când Var (Q1) ≤ Var (Q2) pentru orice valoare de φ atâta timp cât eșantionul statistic de φ este strict mai mare de 1, n> 1. Unde Var este varianța și n este dimensiunea eșantionului.
Afirmat intuitiv, presupunând că avem doi estimatori cu proprietatea imparțială, putem spune că unul (Q1) este mai eficient decât altul (Q2) dacă variabilitatea rezultatelor unuia (Q1) este mai mică decât cea a celuilalt (Q2). Este logic să credem că un lucru care variază mai mult decât altul este mai puțin „precis”.
Prin urmare, putem folosi acest criteriu doar pentru selectarea estimatorilor atunci când aceștia sunt imparțiali. În afirmația anterioară, când definim eficiența, presupunem deja că estimatorii trebuie să fie imparțiali.
Pentru a compara estimatorii care nu sunt neapărat imparțiali, adică pot exista părtiniri, se recomandă calcularea erorii pătrate medii (MSE) a estimatorilor.
Dacă Q este un estimator al lui φ, atunci ECM al lui Q este definit ca:
Eroarea pătrată medie (MSE) calculează distanța medie care există între valoarea așteptată a estimatorului eșantion Q și estimatorul populației. Forma pătratică a ECM se datorează faptului că erorile pot fi în mod implicit, negative sau în exces, pozitive, în raport cu valoarea așteptată. În acest fel, ECM va calcula întotdeauna valori pozitive.
ECM depinde de varianță și părtinire (dacă există) permițându-ne să comparăm doi estimatori atunci când unul sau ambii sunt părtinitori. Cel al cărui NDE este mai mare va fi înțeles ca fiind mai puțin precis (are mai multe erori) și, prin urmare, mai puțin eficient.
Coerența unui estimator
Coerența este o proprietate asimptotică. Această proprietate seamănă cu proprietatea de eficiență cu diferența că consistența măsoară distanța probabilă între valoarea estimatorului și valoarea reală a parametrului populației pe măsură ce mărimea eșantionului crește la nesfârșit. Această creștere nedeterminată a mărimii eșantionului este baza proprietății asimptotice.
Există o dimensiune minimă a eșantionului pentru a efectua analiza asimptotică (verificați consistența estimatorului pe măsură ce eșantionul crește). Aproximările mari ale eșantioanelor funcționează bine pentru eșantioane de aproximativ 20 de observații (n = 20). Cu alte cuvinte, vrem să vedem cum se comportă estimatorul atunci când mărim eșantionul, dar această creștere tinde spre infinit. Având în vedere acest lucru, facem o aproximare și din 20 de observații într-un eșantion (n ≥ 20), analiza asimptotică este adecvată.
Matematic, definim Q1n ca estimator al lui φ din orice eșantion aleatoriu (x1, X2, X3,…, Xn) de dimensiune (n). Deci, putem spune că Qn este un estimator consecvent al lui φ dacă:
Acest lucru ne spune că diferențele dintre estimator și valoarea populației sale, | Qn - φ |, trebuie să fie mai mari decât zero. Pentru aceasta o exprimăm în valoare absolută. Probabilitatea acestei diferențe tinde la 0 (devine din ce în ce mai mică) atunci când dimensiunea eșantionului (n) tinde spre infinit (devine din ce în ce mai mare).
Cu alte cuvinte, este din ce în ce mai puțin probabil ca Qn se îndepărtează prea mult de φ când mărimea eșantionului crește.