Polinomul Taylor - Ce este, definiție și concept

Polinomul Taylor este o aproximare polinomială a unei funcțiin ori derivabil la un anumit punct.

Cu alte cuvinte, polinomul Taylor este o sumă finită a derivatelor locale evaluate la un punct specific.

Matematic

Definim:

f (x): funcția de X.

f (x₀): funcția deXla un punct specific x₀. În mod oficial este scris:

F⁽ⁿ⁾(X):n-a derivată a funcției f (x).

Aplicații

Extinderea Taylor se aplică în general activelor și produselor financiare al căror preț este exprimat ca o funcție neliniară. De exemplu, prețul unui titlu de creanță pe termen scurt este o funcție neliniară care depinde de ratele dobânzii. Un alt exemplu ar fi opțiunile, în care atât factorii de risc, cât și rentabilitatea sunt funcții neliniare. Calculul duratei unei legături este un polinom Taylor de gradul I.

Exemplu polinomial Taylor

Vrem să găsim al doilea ordin al aproximării Taylor a funcției f (x) într-un punct x₀=1.

1. Realizăm derivatele relevante ale funcției f (x).

În acest caz, ei ne cer până la ordinea a doua, așa că vom face prima și a doua derivată a funcției f (x):

• Primul derivat:

• A doua derivată:

2. Înlocuim x₀= 1 în f (x), f '(x) și f' '(x):

3. Odată ce avem valoarea derivatelor la punctul x₀= 1, îl substituim în aproximarea lui Taylor:

Reparăm puțin polinomul:

Verificarea valorilor

Aproximarea lui Taylor va fi adecvată cu cât este mai aproape de x₀ fie valorile. Pentru a verifica acest lucru, înlocuim valori apropiate de x₀ atât în ​​funcția originală, cât și în aproximarea Taylor de mai sus:

Când x₀=1

Funcția originală:

Aproximare Taylor:

Când x₀=1,05

Funcția originală:

Aproximare Taylor:

Când x₀=1,10

Funcția originală:

Aproximare Taylor:

În primul caz când x₀= 1, vedem că atât funcția originală, cât și aproximarea lui Taylor ne dau același rezultat. Acest lucru se datorează compoziției polinomului Taylor pe care am creat-o folosind derivatele locale. Acești derivați au fost evaluați la un punct specific, x₀= 1, pentru a obține o valoare și a crea polinomul. Deci, cu cât este mai departe de acel punct particular, x₀= 1, cu atât aproximarea va fi mai puțin adecvată pentru funcția inițială neliniară. În cazurile în care x₀= 1,05 și x₀= 1.10 există o diferență semnificativă între rezultatul funcției originale și aproximarea lui Taylor.

Dar … diferența este foarte mică, nu-i așa?

Reprezentarea polinomială a lui Taylor

Dacă extindem extremele (unde aproximarea se îndepărtează de x₀=1):

La prima vedere poate părea nesemnificativ, dar atunci când lucrăm la grafic și facem aproximări, este foarte important să luăm în considerare cel puțin primele patru zecimale. Baza aproximărilor este precizia.