Distribuția Poisson este o distribuție discretă de probabilitate care modelează frecvența anumitor evenimente într-un interval de timp fixat pe baza frecvenței medii de apariție a acestor evenimente.
Cu alte cuvinte, distribuția Poisson este o distribuție discretă de probabilitate care, numai prin cunoașterea evenimentelor și a frecvenței lor medii de apariție, putem cunoaște probabilitatea lor.
Expresia distribuției Poisson
Având în vedere o variabilă discretă aleatoare X, spunem că frecvența sa poate fi aproximată în mod satisfăcător la o distribuție Poisson, astfel încât:
Spre deosebire de distribuția normală, distribuția Poisson depinde doar de un parametru, mu (marcat cu galben).
Mu raportează numărul așteptat de evenimente care vor avea loc într-un interval de timp stabilit. Când vorbim despre ceva „așteptat”, trebuie să îl redirecționăm pentru a ne gândi la medie. Prin urmare, mu este media frecvenței evenimentelor.
Atât media, cât și varianța acestei distribuții sunt foarte strict pozitive.
Reprezentare
Având în vedere o distribuție Poisson cu media 2, distribuția probabilității densității este următoarea:
Funcția este definită numai pe valori întregi ale lui x.
Nu toate distribuțiile de probabilitate ale densității Poisson vor arăta la fel, chiar dacă păstrăm eșantionul la fel. Dacă schimbăm media, adică parametrul de care depinde funcția, se va schimba și funcția.
Funcția densității probabilității (pdf)
Această funcție este înțeleasă ca probabilitatea ca variabila aleatoare X să ia o valoare specifică x. Este exponențialul mediei negative multiplicat cu media ridicată la observație și totul împărțit la factorialul observației.
După cum sa indicat, pentru a cunoaște probabilitatea fiecărei observații, va trebui să înlocuim toate observațiile din funcție. Cu alte cuvinte, x este un vector cu dimensiunea n care conține toate observațiile variabilei aleatorii X. Media ar fi, de asemenea, un vector, dar cu o singură dimensiune, astfel încât:
Odată ce avem probabilitățile calculate, împreună cu observațiile putem trage distribuția densității probabilității.
Poveste
Numele acestei distribuții provine de la creatorul său, Siméon-Denis Poisson (1781-1840), un matematician și filosof francez, care a dorit să modeleze frecvența evenimentelor într-un interval de timp fixat. De asemenea, a participat la perfecționarea legii numărului mare.
Aplicație
Distribuția Poisson este utilizată în domeniul riscului operațional pentru a modela situațiile în care apare o pierdere operațională. În riscul de piață, procesul Poisson este utilizat pentru timpii de așteptare între tranzacțiile financiare în bazele de date de înaltă frecvență. De asemenea, riscul de credit este luat în considerare pentru a modela numărul falimentelor.
Exemplu
Presupunem că suntem în sezonul de iarnă și vrem să mergem la schi înainte de decembrie. Probabilitatea ca stațiunile de schi să se deschidă înainte de decembrie este de 5%. Dintre cele 100 de stațiuni de schi, vrem să știm probabilitatea ca cea mai apropiată stațiune de schi să se deschidă înainte de decembrie. Evaluarea acestei stațiuni de schi este de 6 puncte.
Intrările necesare pentru calcularea funcției de probabilitate a densității Poisson sunt setul de date și mu:
- Set de date = 100 de stațiuni de schi.
- Mu = 5% * 100 = 5 este numărul preconizat de stațiuni de schi având în vedere setul de date.
Deci, cea mai apropiată stație are 14,62% șanse să se deschidă înainte de decembrie.
Probabilitatea de frecvență