Inegalitatea lui Chebyshev este o teoremă utilizată în statistici care oferă o estimare conservatoare (interval de încredere) a probabilității ca o variabilă aleatorie cu varianță finită să fie la o anumită distanță de așteptarea sa matematică sau de media ei.
Expresia sa formală este următoarea:
X = Valoarea estimată
µ = Așteptarea matematică a valorii estimate
Ϭ = Abaterea standard a valorii așteptate
k = Numărul abaterilor standard
Pornind de la această expresie generală și dezvoltând partea care rămâne în cadrul valorii absolute, am avea următoarele:
Dacă acordăm atenție expresiei anterioare, se poate observa că partea din stânga nu este mai mult decât a interval de încredere. Aceasta ne oferă atât o limită inferioară cât și o limită superioară pentru valoarea estimată. Prin urmare, inegalitatea Chebyshev ne spune probabilitatea minimă ca parametrul populației să se afle într-un anumit număr de abateri standard peste sau sub media sa. Sau altfel spus, ne oferă probabilitatea ca parametrul populației să se afle în acel interval de încredere.
Inegalitatea lui Chebyshev oferă limite aproximative pentru valoarea estimată. Deși are un anumit grad de imprecizie, este o teoremă foarte utilă, deoarece poate fi aplicată unei game largi de variabile aleatorii, indiferent de distribuția lor. Singura restricție pentru a putea utiliza această inegalitate este că k trebuie să fie mai mare de 1 (k> 1).
Inegalitatea matematicăExemplu de aplicare a inegalității lui Chebyshev
Să presupunem că suntem administratori ai unui fond de investiții. Portofoliul pe care îl gestionăm are un randament mediu de 8,14% și o abatere standard de 5,12%. Pentru a ști, de exemplu, ce procent din randamentele noastre sunt cel puțin 3 abateri standard de la profitabilitatea noastră medie, am aplica pur și simplu formula de expresie 2 anterioară.
k = 1,96
Înlocuind valoarea lui k: 1- (1 / (1.96 2)) = 0.739 = 73.9%
Aceasta înseamnă că 73,9% din rezultate se află în intervalul de încredere situat la 1,96 abateri standard de la medie.
Să facem exemplul anterior pentru alte valori decât k.
k = 2,46
k = 3
Înlocuind valoarea lui k: 1- (1 / (2.46 2)) = 0.835 = 83.5%
Înlocuind valoarea lui k: 1- (1 / (3 2)) = 0,889 = 88,9%
Există 83,5% din date care se află la o distanță de 2,46 abateri standard față de medie și 88,9% care se încadrează în 3 abateri standard de medie.
Folosind inegalitatea lui Chebyshev, este ușor de dedus că, cu cât este mai mare valoarea lui K (cu cât deviația valorii estimate este mai mare față de media sa), cu atât este mai mare probabilitatea ca variabila aleatorie să se afle în intervalul delimitat.
KurtosisTeorema limitei centraleInegalitate