Descompunerea Cholesky este un tip special de descompunere a matricei LU, din limba engleză Lower-Upper, care constă în factorizarea unei matrici în produsul a două sau mai multe matrice.
Cu alte cuvinte, descompunerea Cholesky constă în echivalarea unei matrice care conține același număr de rânduri și coloane (matrice pătrată) cu o matrice cu zerouri deasupra diagonalei principale înmulțite cu matricea sa transpusă cu zerouri sub diagonala principală.
Descompunerea LU, spre deosebire de Cholesky, poate fi aplicată diferitelor tipuri de matrice pătrate.
Caracteristici de descompunere Cholesky
Descompunerea Cholesky constă din:
- O matrice pătrată triunghiulară superioară: Matrice pătrată care are doar zerouri sub diagonala principală.
- O matrice pătrată triunghiulară inferioară: O matrice care are doar zerouri deasupra diagonalei principale.
Matematic, dacă există o matrice simetrică definită pozitivă, ȘI, atunci există o matrice simetrică triunghiulară inferioară, K, de aceeași dimensiune ca ȘI, Rezultând:
Matricea de mai sus apare ca matricea Cholesky a lui E. Această matrice acționează ca rădăcina pătrată a matricei E. Știm că domeniul rădăcinii pătrate este:
(X ∈ ℜ: x ≥ 0)
Care este definit în toate numerele reale non-negative. În același mod ca rădăcina pătrată, matricea Cholesky va exista numai dacă matricea este semi-pozitivă definită. O matrice este semipozitivă definită atunci când minorii majori au un factor pozitiv sau zero.
Descompunerea Cholesky a ȘI este o matrice diagonală astfel încât:
Putem vedea că matricile sunt pătrate și conțin caracteristicile menționate; triunghi de zerouri deasupra diagonalei principale din prima matrice și triunghi de zerouri sub diagonala principală din matricea transformată.
Aplicații de descompunere Cholesky
În finanțe este utilizat pentru a transforma realizările variabilelor normale independente în variabile normale corelate în funcție de o matrice de corelație ȘI.
Dacă N este un vector al normelor independente (0,1), rezultă că Ñ este un vector al normelor (0,1) corelat în funcție de ȘI.
Exemplu de descompunere Cholesky
Acesta este cel mai simplu exemplu pe care îl putem găsi de descompunere Cholesky, deoarece matricile trebuie să fie pătrate, în acest caz, matricea este (2 × 2). Două rânduri câte două coloane. În plus, îndeplinește caracteristicile de a avea zerouri deasupra și sub diagonala principală. Această matrice este semi-pozitivă, deoarece minorii majori au un determinant pozitiv. Definim:
Rezolvarea pentru: c2 = 4; b · c = -2; la2+ b2 = 5; avem patru posibile matrice Cholesky:
În cele din urmă, calculăm pentru a găsi (a, b, c). Odată ce le vom găsi, vom avea matricile Cholesky. Calculul este după cum urmează:
