Funcția exponențială este baza compunerii continue, care este rezultatul creșterii la infinit (când p tinde spre infinit) frecvența calculului dobânzii într-un compus compus.
Cu alte cuvinte, funcția exponențială este un compus compus în care perioadele de timp dintre calculele dobânzii sunt infinitesimale (foarte mici).
Formula funcției exponențiale este:
Compunerea continuă poate fi exprimată ca
Asemănări rezonabile între capitalizarea continuă și funcția exponențială, nu?
Definim variabilele de capitalizare continuă:
- Ct + 1: capital la momentul t + 1 (mai târziu).
- Ct: capital la momentul t (curent).
- eut: rata dobânzii la momentul t.
- p: frecvența de compunere sau periodicitate.
- t: timpul.
Aplicații
În finanțe găsim frecvent funcția exponențială în formula pentru valorificarea continuă a veniturilor viitoare și în unele regresii econometrice.
În economie nu este atât de popular, deoarece majoritatea modelelor microeconomice și macroeconomice presupun randamente marginale diminuante ale factorilor lor de producție. În consecință, ei presupun că factorii urmează randamentelor logaritmice și, prin urmare, revin contrar funcției exponențiale.
Exemplu de funcție exponențială
Presupunem că suntem un investitor american care dorește să construiască o pârtie de schi în Pico Bolívar, Venezuela. Investiția inițială este de 100 milioane USD la o rată anuală a dobânzii de 100%. Acest investitor are suficientă putere de negociere pentru a determina periodicitatea calculului dobânzii la investiția sa.
Ce alternativă va prefera investitorul american?
Pentru a răspunde la întrebare, va trebui să calculăm capitalul la timp t + 1 (Ct + 1) pe care o va primi investitorul.
Informații disponibile:
Ct: 100 mil. USD
eut: 100%
t: 1 (anual)
Ct + 1: ?
| Alternativă | LA | B | C | D | ȘI | F |
| Periodicitate | 1 | 2 | 50 | 100.000 | 10.000.000 | 1.000.000.000 |
Înlocuim informațiile pe care le avem în cele două formule (funcția exp. Și capitalizare continuă)
Tratăm datele evitând MM.
Împărțim (Ct + 1) la 100 în funcția exponențială pentru a elimina efectul capitalului. În acest fel, mutăm virgula cu două locuri înainte. În consecință, acest efect este vizibil în următoarele coloane de rezultate.
Rezultate:
| Formulă | Compunere continuă | Functie exponentiala |
| Periodicitate (p) sau (n) | Ct + 1 | Ct + 1/100 |
| 1 | 200 | 2 |
| 2 | 225 | 2,25 |
| 50 | 269,1588029 | 2,691588029 |
| 100.000 | 271,8268237 | 2,718268237 |
| 10.000.000 | 271,8281694 | 2,718281694 |
| 1.000.000.000 | 271,8282031 | 2,718282031 |
Când n sau p tind spre infinit, în acest caz de la 10.000.000, putem vedea că valorile converg către un anumit număr. Pentru compunerea continuă este 271.8281 și pentru funcția exponențială este 2.718281. Cele două serii converg mai departe și.
Răspunsul la exercițiu a fost rezolvat
Deci, ce alternativă va ajunge investitorul american să aleagă, dacă dintr-o serie de periodicități capitalul la t + 1 (Ct + 1) tarabe la o anumită valoare?
- Dacă acest investitor tratează capitalul ca o variabilă discretă, atunci va alege alternativa D. Deoarece din alternativa C, capitalul la t + 1 (Ct + 1) converge la 271 mil. USD.
- Dacă acest investitor tratează capitalul ca o variabilă continuă, atunci va alege alternativa cu mai multe periodicități. În acest caz, alternativa F. Chiar dacă ajunge să convergă la o valoare, investitorul ia în calcul toate zecimalele.
Această convergență implică faptul că capitalul la t + 1 (Ct + 1), calculat utilizând formula de compunere continuă sau funcția exponențială, urmează randamente marginale diminuante. Cu alte cuvinte, (Ct + 1) poate fi exprimat ca o funcție logaritmică.
Schematic:
- Periodicitate = funcție exponențială.
- Capital pentru t + 1 (Ct + 1) = funcție logaritmică.
Reprezentare grafică
În grafic puteți vedea cum funcția exponențială, care este infinit continuă, crește mult mai repede decât capitalizarea continuă limitată. Când vorbim de valorificare continuă, ne referim la un fel de valorificare compusă, dar cu o periodicitate mai mare, deoarece în practică este imposibil să valorificăm interesele infinitesimal. Adică, nu putem valorifica fiecare secundă.