Diferența dintre concav și convex
Diferența dintre concav și convex poate fi explicată după cum urmează → Termenul convex se referă la faptul că o suprafață are o curbură interioară, în timp ce, dacă ar fi concavă, curbura ar fi către exterior.
Astfel, o putem descrie într-un alt mod. Partea centrală a unei suprafețe convexe este mai deprimată sau deprimată. Pe de altă parte, dacă ar fi concav, acea parte centrală ar arăta o proeminență.
Pentru a o înțelege mai bine, putem cita câteva exemple. În primul rând, cazul clasic al unei sfere, a cărei suprafață este convexă. Cu toate acestea, dacă îl tăiem în două și păstrăm jumătatea inferioară, am avea un obiect convex, cu o cădere (presupunând că interiorul sferei este gol).
Un alt exemplu de concav ar fi un munte, deoarece este o proeminență față de suprafața pământului. Dimpotrivă, o fântână este concavă, deoarece intrarea în ea presupune scufundarea, sub nivelul suprafeței pământului.
De asemenea, trebuie remarcat faptul că, pentru a defini un obiect ca perspectivă concavă sau convexă, trebuie luată în considerare. Astfel, o farfurie cu supă, de exemplu, când este gata de servit, este convexă, are o cădere. Cu toate acestea, dacă o întoarcem, placa va fi concavă.
Dacă analizăm parabole, de exemplu, acestea sunt convexe dacă au o formă de U, dar concavă dacă au o formă de U inversată.
Funcții concavă și convexă
Dacă a doua derivată a unei funcții este mai mică decât zero într-un punct, atunci funcția este concavă în acel punct. Pe de altă parte, dacă este mai mare decât zero, este convex în acel punct. Cele de mai sus pot fi exprimate după cum urmează:
Dacă f »(x) <0, f (x), este concav.
Dacă f »(x)> 0, f (x) este convex.
De exemplu, în ecuația f (x) = x2+ 5x-6, putem calcula prima sa derivată:
f '(x) = 2x + 5
Apoi găsim a doua derivată:
f »(x) = 2
Prin urmare, deoarece f »(x) este mai mare decât 0, funcția este convexă pentru fiecare valoare a lui x, așa cum vedem în graficul de mai jos:
Acum, să vedem cazul acestei alte funcții: f (x) = - 4x2+ 7x + 9.
f '(x) = - 8x + 7
f »(x) = - 8
Prin urmare, deoarece a doua derivată este mai mică de 0, funcția este concavă pentru fiecare valoare a lui x.
Dar acum să ne uităm la următoarea ecuație: -5 x3+ 7x2+5 x-4
f '(x) = - 15x2+ 14x + 5
f »(x) = - 30x + 14
Setăm a doua derivată egală cu zero:
-30x + 14 = 0
x = 0,4667
Deci, când x este mai mare decât 0,4667, f »(x) este mai mare decât zero, deci funcția este convexă. În timp ce dacă x este mai mic de 0,4667, funcția este concavă, așa cum vedem în graficul de mai jos:
Poligon convex și concav
Un poligon convex este unul în care două dintre punctele sale pot fi unite, trasând o linie dreaptă care rămâne în interiorul figurii. La fel, unghiurile sale interioare sunt mai mici de 180º.
Pe de altă parte, un poligon concav este unul în care, pentru a uni două dintre punctele sale, trebuie trasată o linie dreaptă care se află în afara figurii, aceasta fiind o diagonală exterioară care unește două vârfuri. În plus, cel puțin unul dintre unghiurile sale interioare este mai mare de 180º.
Putem vedea o comparație în imaginea de mai jos:
