Unirea evenimentelor este o operație al cărei rezultat este compus din toate evenimentele elementare nerepetate pe care două sau mai multe mulțimi le au în comun și nu în comun.
Adică, având în vedere două mulțimi A și B, uniunea lui A și B ar fi formată din toate mulțimile care nu se repetă care au A și B. Intuitiv, probabilitatea unirii evenimentelor lui A și B ar implica răspunsul la întrebare: Care este probabilitatea ca A să iasă sau să iasă B?
Simbolul unirii evenimentelor este U. În așa fel încât, dacă dorim să observăm matematic unirea a două evenimente B și D, am observa-o ca: B U D.
Generalizarea uniunii de evenimente
Până acum am văzut și am indicat unirea a două evenimente. De exemplu, A U B sau B U D. Dar dacă avem trei, patru și chiar o sută de evenimente?
Aceasta este ceea ce numim generalizare, adică o formulă care ne ajută să sesizăm unirea evenimentelor care funcționează în aceste cazuri. Dacă avem 8 evenimente, în loc să scriem cele zece evenimente vom folosi următoarea notație:
În loc să numim fiecare eveniment A, B sau orice scrisoare, vom apela Da. S este evenimentul și indicele i indică numărul. În așa fel încât vom avea, aplicat exemplului a 10 evenimente, următoarele:
Ceea ce am făcut este să aplicăm notația anterioară și să o dezvoltăm. Acum, nu vom avea întotdeauna nevoie. Mai ales când vine vorba de un număr mare de evenimente.
Unirea evenimentelor disjuncte și nedisjuncte
Ceea ce indică conceptul de evenimente disjuncte este că două evenimente nu au elemente în comun.
Când sunt disjuncte, operațiunea de unire a evenimentelor este simplă. Trebuie doar să adăugați probabilitățile ambelor, pentru a obține probabilitatea ca unul sau celălalt eveniment să apară. Cu toate acestea, atunci când evenimentele nu sunt disjuncte, trebuie adăugat un mic detaliu. Elementele repetate trebuie eliminate. De exemplu:
Să presupunem un spațiu de rezultat care merge de la 1 la 5. Evenimentele sunt după cum urmează:
Evenimentul A: (1,2,4) -> 60% probabilitate = 0,6
Eveniment B: (1,4,5) -> 60% probabilitate = 0,6
Operația A U B, intuitiv, ar fi să adauge evenimentele lui A și evenimentele lui B, dar dacă facem acest lucru, probabilitatea ar fi 1,2 (0,6 + 0,6). Și așa cum indică axiomele probabilității, probabilitatea trebuie să fie întotdeauna între 0 și 1. Cum o rezolvăm? Scăderea intersecției evenimentelor A și B. Adică eliminarea elementelor care se repetă:
A + B = (1,1,2,4,4,5)
A ∩ B = (1,4)
A U B = A + B - (A ∩ B) = (1,2,4,5)
Trecând la probabilități, ar trebui să:
P (A U B) = P (A) + P (B) - P (A ∩ B) = 0,6 + 0,6 - 0,4 = 0,8 (80%)
Într-adevăr, probabilitatea să apară 1 sau 2 sau 4 sau 5. Presupunând că toate numerele au aceeași probabilitate de a se întâmpla este de 80%.
Grafic ar arăta astfel:
Proprietăți de unire a evenimentelor
Alăturarea evenimentelor este un tip de operație matematică. Unele tipuri de operații sunt, de asemenea, adunarea, scăderea, multiplicarea. Fiecare dintre ele are o serie de proprietăți. De exemplu, știm că rezultatul adăugării 3 + 4 este exact același cu cel al adăugării 4 +3. În acest moment, uniunea evenimentului are mai multe proprietăți pe care merită să le cunoașteți:
- Comutativ: Înseamnă că ordinea în care este scris nu modifică rezultatul. De exemplu:
- A U B = B U A
- C U D = D U C
- Asociativ: Presupunând că există trei evenimente, nu ne pasă care să facem mai întâi și care să facem mai departe. De exemplu:
- (A U B) U C = A U (B U C)
- (A U C) U B = (A U B) U C
- Distributiv: Când includem tipul de operație de intersecție, proprietatea distributivă este valabilă. Uită-te la următorul exemplu:
- A U (B ∩ C) = (A U B) ∩ (A U C)
Exemplu de unire a evenimentului
Un exemplu simplu de unire a două evenimente A și B ar fi următorul. Să presupunem cazul aruncării unei matrițe perfecte. O moară care are șase fețe numerotate de la 1 la 6. În așa fel încât evenimentele să fie definite mai jos:
LA: Că este mai mare de 2. (3,4,5,6) ca probabilitate este 4/6 => P (A) = 0,67
C: Să iasă cinci. Probabilitatea (5) este 1/6 => P (C) = 0,17
Care este probabilitatea de A U C?
P (A U C) = P (A) + P (C) - P (A ∩ C)
Deoarece P (A) și P (C) îl au deja, vom calcula P (A ∩ C)
A ∩ C = (5) în probabilitățile P (A ∩ C) = 1/6 = 0,17
Rezultatul final este:
P (A U C) = P (A) + P (C) - P (A ∩ C) = 0,67 + 0,17 - 0,17 = 0,67 (67%)
Probabilitatea ca acesta să ruleze mai mult de 2 sau să ruleze 5 este de 67%.