Un estimator este o statistică care necesită anumite condiții pentru a putea calcula anumiți parametri ai unei populații cu anumite garanții.
Adică, un estimator este o statistică. Acum, el nu este orice statistician. Este o statistică cu anumite proprietăți. Un exemplu ar putea fi media sau varianța. Aceste valori bine cunoscute sunt estimatori.
Le numim pe acestea două pentru că sunt cele mai simple, dar în statistici există multe altele. Acum, revenind la definiție, ce înțelegem prin anumite condiții, astfel încât anumiți parametri să poată fi calculați cu anumite garanții?
În primul rând, trebuie să înțelegem că, atunci când efectuăm un studiu de cercetare, dorim în mod normal să studiem un anumit parametru. De exemplu, vrem să studiem care este înălțimea medie a copacilor dintr-un anumit oraș din Columbia. Variabila studiată este înălțimea copacilor dintr-un anumit oraș din Columbia. În timp ce parametrul este înălțimea medie a copacilor din acel oraș.
În exemplul de mai sus, ce condiție ar trebui să solicităm estimatorului nostru? Ei bine, de exemplu, nu luați valori negative. Și, desigur, că calculul înălțimii medii duce la posibile valori. Dacă cel mai înalt copac are 10 metri, estimatorul mediu nu ne poate da 15 metri. În acest caz, nu ar putea fi un estimator, deoarece nu ar da naștere unor valori posibile din punct de vedere fizic.
Astfel, din cele de mai sus, concluzionăm că estimatorii sunt statistici care trebuie, în mod necesar, să ia posibile valori din datele pe care le studiem.
Acum, nu este suficient doar să luați valori care se încadrează în intervalul de date. În mod normal, vi se solicită anumite proprietăți pentru ca noi să avem anumite garanții. Poate fi cazul în care anumiți estimatori îndeplinesc condiția de a fi estimatori, dar dacă estimează prost, vor fi clasificați ca estimatori neplăcuți.
Proprietățile recomandate ale unui estimator
Pentru ca aceasta să își îndeplinească bine funcția, pe lângă estimatorii care își îndeplinesc condiția de bază a estimatorilor, se recomandă ca aceștia să îndeplinească anumite proprietăți suplimentare. Aceste proprietăți vor permite concluziile extrase din studiul nostru să fie fiabile.
- Suficient: Proprietatea suficientă indică faptul că estimatorul funcționează cu toate datele din eșantion. De exemplu, media nu alege doar 50% din date. Pentru a calcula parametrul ia în considerare 100% din date.
- Imparțial: Proprietatea imparțială se referă la centralitatea unui estimator. Adică media unui estimator trebuie să coincidă cu parametrul de estimat. Nu ar trebui să confundăm media unui estimator cu media estimatorului.
- Consistent: Conceptul de consistență merge mână în mână cu dimensiunea eșantionului și conceptul de limită. În cuvinte simple, vine să ne spună că estimatorii îndeplinesc această proprietate atunci când, în cazul unui eșantion foarte mare, pot estima aproape fără erori.
- Eficient: Proprietatea de eficiență poate fi absolută sau relativă. Un estimator este eficient în sens absolut atunci când varianța estimatorului este minimă. Nu trebuie să confundăm varianța unui estimator cu un estimator al varianței.
- Puternic: Se spune că un estimator este robust dacă, în ciuda ipotezei inițiale incorecte, rezultatele seamănă foarte mult cu cele reale.
Proprietățile de mai sus sunt cele principale. Desigur, în cadrul fiecărei proprietăți există multe cazuri diferite. De asemenea, există și alte proprietăți dorite.
Alte proprietăți dorite ale estimatorilor
Un exemplu de proprietate dezirabilă este acela de invariant la schimbările de scară. Această proprietate indică faptul că, dacă unitatea de măsură este modificată, valoarea de estimat nu se modifică. De exemplu, dacă măsurăm copacii în centimetri și apoi în metri, valoarea medie ar trebui să fie aceeași. Cu care, am putea spune că media este un estimator invariant înainte de schimbările de scară.
O altă proprietate pe care manualele statistice o indică de obicei este aceea a invariantei schimbărilor de origine. Pentru a continua cu cazul anterior, vom vedea un caz ipotetic. Să presupunem că, după măsurarea tuturor copacilor, concluzionăm că trebuie să adăugăm 10 centimetri la înălțimea înregistrată a fiecărui copac. Banda folosită a fost slab măsurată și trebuie să facem această modificare pentru a ajusta datele la realitate. Ceea ce facem este o schimbare de origine. Și întrebarea este se va modifica rezultatul înălțimii medii?
Contrar schimbării de scară, aici schimbarea de origine afectează. Dacă se dovedește că toți copacii sunt cu 10 centimetri mai înalți, atunci înălțimea medie va crește.
Prin urmare, putem spune că media este un estimator invariant înainte de schimbările de scară, dar variantă înainte de schimbările de origine.