Teorema Darmois este o teoremă care permite găsirea unei statistici T pentru un parametru θ cu proprietatea de suficient.
În cuvinte chiar mai simple, permite găsirea expresiei matematice, dacă există, a unei statistici suficiente.
În raport cu criteriul de factorizare Fisher-Neyman, putem lua în considerare. Criteriul de factoring Fisher-Neyman servește atât pentru a verifica dacă o statistică îndeplinește proprietatea de suficient, cât și pentru a găsi expresia matematică a unei statistici suficiente (dacă există). Prin contrast, teorema lui Darmois permite doar găsirea expresiei matematice (dacă există) a unei statistici suficiente.
Să spunem că, în timp ce criteriul de factoring Fisher-Neyman se deplasează înainte (căutare) și înapoi (verificare), teorema Darmois se deplasează doar înainte (căutare).
Formula teoremei Darmois
Teoretic, se exprimă, având în vedere un eșantion simplu aleatoriu al unei variabile aleatoare X cu funcția de densitate f (x; θ) cu θ ∈ Ω. Dacă această funcție aparține familiei exponențiale, adică poate fi exprimată astfel încât:
f (x; θ) = β (θ) × b (x) × e (a (x) × α (θ)
Atunci statistica T = T (x1,…, xn) = Σ a (x)
Pentru a facilita calculele, notația logaritmică este de obicei efectuată:
lnf (x; θ) = lnβ (θ) + lnb (x) + (a (x) × α (θ))
Desigur, este dificil să înțelegem toată această notație matematică. Apar multe necunoscute, multe scrisori, mulți operatori. Să-l redefinim cu cuvinte colocviale. În acest scop, vom începe cu definiția teoretică aplicată unui exemplu:
Să presupunem că un eșantion aleatoriu de 50 de copii (eșantion simplu aleator) cărora le întrebăm câți bani cheltuiesc pe săptămână pe dulciuri (variabila aleatoare X) cu o funcție de densitate dată (vezi funcția de densitate) Deci, dacă această funcție de densitate o putem exprima astfel:
Vom stabili că statistica suficientă este suma expresiei a (x)
Părțile formulei sunt definite după cum urmează:
- lnβ (θ): Este o funcție care depinde doar de parametru (în cazul nostru media)
- lnb (x): Este o funcție care depinde doar de variabila aleatorie X
- a (x): Este o funcție care depinde doar de X și înmulțește α (θ)
- α (θ): Este o funcție care depinde doar de parametru (în cazul nostru media)
Teorema lui Darmois în practică
Deși cu toții avem capacitatea și instrumentele de a descoperi noi statistici, aceasta este rareori o normă. Cu alte cuvinte, profesorii de economie și experții în domeniu fac cercetări pe aceste teme.
Pe o bază personală, este dificil să găsești pe cineva dedicat să facă acest tip de cercetare. Astfel, în practică, importantul acestei teoreme este să înțelegem de unde provin aceste statistici pe care le folosim.
De exemplu, pentru ca cineva să descopere că media este o statistică suficientă, probabil că a folosit acest proces.