Un interval de încredere este o tehnică de estimare utilizată în inferența statistică care permite limitarea unei perechi sau a mai multor perechi de valori, în cadrul cărora se va găsi estimarea punctului dorit (cu o anumită probabilitate).
Un interval de încredere ne va permite să calculăm două valori în jurul unei probe medii (una superioară și una inferioară). Aceste valori vor limita un interval în care, cu o anumită probabilitate, va fi localizat parametrul populației.
Interval de încredere = medie + - marjă de eroare
Cunoașterea adevăratei populații, în general, este ceva foarte complicat. Luați în considerare o populație de 4 milioane de oameni. Am putea cunoaște cheltuielile de consum medii pe gospodărie din această populație? În principiu da. Ar trebui pur și simplu să analizăm toate gospodăriile și să calculăm media. Cu toate acestea, urmărirea acestui proces ar fi extrem de laborioasă și ar face studiul destul de complicat.
În astfel de situații, este mai fezabil să selectați un eșantion statistic. De exemplu, 500 de persoane. Și pe eșantionul menționat, calculați media. Deși încă nu am ști adevărata valoare a populației, am putea presupune că aceasta va fi aproape de valoarea eșantionului. În acest sens, adăugăm marja de eroare și avem o valoare a intervalului de încredere. Pe de altă parte, scădem marja de eroare din medie și vom avea o altă valoare. Între aceste două valori va fi media populației.
În concluzie, intervalul de încredere nu servește pentru a da o estimare punctuală a parametrului populației, dacă ne va ajuta să avem o idee aproximativă despre care ar putea fi adevăratul. Ne permite să limităm între două valori unde va fi găsită media populației.
coeficient de variațieFrecvența cumulativăFactori de care depinde un interval de încredere
Calculul unui interval de încredere depinde în principal de următorii factori:
- Dimensiunea eșantionului selectat: În funcție de cantitatea de date care a fost utilizată pentru a calcula valoarea eșantionului, aceasta va fi mai mult sau mai puțin apropiată de parametrul real al populației.
- Nivel de încredere: Ne va informa în ce procent din cazuri estimarea noastră este corectă. Nivelurile obișnuite sunt de 95% și 99%.
- Marja de eroare a estimării noastre: Aceasta se numește alfa și ne informează despre probabilitatea ca valoarea populației să fie în afara ariei noastre de acțiune.
- Estimările din eșantion (medie, varianță, diferență de medii …): Statistica pivot pentru calcularea intervalului va depinde de aceasta.
Exemplu de interval de încredere pentru medie, presupunând normalitatea și deviația standard cunoscută
Statistica pivot utilizată pentru calcul ar fi următoarea:
Intervalul rezultat ar fi următorul:
Vedem cum în intervalul din stânga și din dreapta inegalității avem limita inferioară și respectiv superioară. Prin urmare, expresia ne spune că probabilitatea ca media populației să fie între aceste valori este 1-alfa (nivel de încredere).
Să aruncăm o privire mai bună la cele de mai sus cu un exercițiu rezolvat ca exemplu.
Doriți să estimați timpul mediu pe care îl ia un alergător pentru a finaliza un maraton. Pentru aceasta, 10 maratoane au fost cronometrate și s-a obținut o medie de 4 ore cu o abatere standard de 33 de minute (0,55 ore). Doriți să obțineți un interval de încredere de 95%.
Pentru a obține intervalul, ar trebui să înlocuim doar datele din formula intervalului.
Intervalul de încredere ar fi partea distribuției care este umbrită în albastru. Cele 2 valori delimitate de aceasta ar fi cele corespunzătoare celor 2 linii roșii. Linia centrală care împarte distribuția în 2 ar fi adevărata valoare a populației.
Este important de reținut că, în acest caz, dat fiind că funcția de densitate a distribuției N (0,1) ne oferă probabilitatea cumulativă (de la stânga la valoarea critică), trebuie să găsim valoarea care ne lasă 0,975 % din stânga (acesta este 1,96).