Un estimator imparțial este cel a cărui așteptare matematică coincide cu valoarea parametrului pe care doriți să îl estimați. Dacă nu coincid, se spune că estimatorul are părtinire.
Motivul căutării unui estimator imparțial este că parametrul pe care dorim să-l estimăm este bine estimat. Cu alte cuvinte, dacă dorim să estimăm obiectivele medii pe joc ale unui anumit fotbalist, trebuie să folosim o formulă care să ne ofere o valoare cât mai apropiată de valoarea reală.
În cazul în care așteptarea estimatorului nu coincide cu valoarea reală a parametrului, se spune că estimatorul are o părtinire. Biasul este măsurat ca diferența dintre valoarea estimată a estimatorului și valoarea reală. Matematic se poate observa după cum urmează:
Din formula de mai sus, prima și ultima parte sunt clare. Adică, așteptarea estimatorului este egală cu valoarea reală a parametrului. Dacă această egalitate se menține, atunci estimatorul este imparțial. Partea de mijloc mai abstractă din punct de vedere matematic este explicată în paragraful următor.
Media tuturor estimărilor pe care estimatorul le poate face pentru fiecare eșantion diferit este egală cu parametrul. De exemplu, dacă avem 30 de eșantioane diferite, normal este că în fiecare eșantion estimatorul (chiar dacă doar puțin) oferă valori diferite. Dacă luăm media celor 30 de valori ale estimatorului în cele 30 de eșantioane diferite, atunci estimatorul ar trebui să returneze o valoare egală cu valoarea reală a parametrului.
Estimare punctualăParticularitatea unui estimator
Un estimator imparțial nu poate fi găsit întotdeauna pentru a calcula un anumit parametru. Deci, estimatorul nostru poate fi părtinitor. Faptul că un estimator are părtinire nu înseamnă că nu este valid. Înseamnă pur și simplu că nu se potrivește la fel de bine cum ne-am dori statistic.
Acestea fiind spuse, chiar dacă nu se potrivește la fel de bine cum ne-am dori, uneori nu rămânem decât o alegere decât să folosim un estimator părtinitor. Prin urmare, este extrem de important să cunoaștem dimensiunea acestei părtiniri. Dacă știm despre aceasta, putem folosi aceste informații în concluziile investigației noastre. Din punct de vedere matematic, prejudecata este definită după cum urmează:
În formula de mai sus, polarizarea este o valoare diferită de zero. Dacă ar fi zero, atunci estimatorul ar fi imparțial.
Exemplu de estimator imparțial
Un exemplu de estimator imparțial este găsit în estimatorul mediu. Acest estimator este cunoscut în statistici ca medie eșantion. Dacă folosim formula matematică descrisă la început, concluzionăm că media eșantionului este un estimator imparțial. Înainte de operare, trebuie să ținem cont de următoarele informații:
Notăm X cu o bară peste media eșantionului.
Formula pentru media eșantionului este suma celor n valori pe care le-am împărțit la numărul de valori. Dacă avem 20 de date, n va fi egal cu 20. Va trebui să adăugăm valorile celor 20 de date și să le împărțim la 20.
Notarea de mai sus înseamnă așteptarea sau valoarea așteptată a eșantionului mediu. În mod colocvial, am putea spune că se calculează ca valoare medie a eșantionului mediu. Având în vedere acest lucru, folosind tehnicile matematice adecvate putem deduce următoarele:
Așteptarea estimatorului coincide cu „mu”, care este adevărata valoare a parametrului. Adică adevăratul mijloc. Totul este spus, unele concepte de bază despre matematică sunt necesare pentru a înțelege dezvoltarea anterioară.
În mod similar, am putea încerca să facem același lucru cu estimatorul varianței eșantionului. În ceea ce urmează, S pătrat este varianța eșantionului, iar litera greacă sigma (care arată ca litera o cu un stick în dreapta) este varianța reală.
Diferența față de formula de mai sus este a doua parte a primei formule. Și anume:
Concluzionăm că varianța eșantionului ca estimator al varianței populației este părtinitoare. Bias-ul său este egal cu valoarea indicată mai sus. Astfel, depinde de varianța populației și de mărimea eșantionului (n). Rețineți că, dacă n (dimensiunea eșantionului) devine foarte mare, polarizarea tinde la zero.
Dacă atunci când eșantionul tinde să fie foarte mare, estimatorul se apropie de valoarea reală a parametrului, atunci vorbim despre un estimator asimptotic imparțial.