Modulul unui vector și teorema lui Pitagora

Modulul unui vector este lungimea unui segment orientat într-un spațiu care este determinat de două puncte și ordinea lor.

Cu alte cuvinte, modulul unui vector este lungimea dintre începutul și sfârșitul vectorului, adică de unde începe săgeata și unde se termină.

Având în vedere orice vector bidimensional:

Informațiile pe care ni le oferă coordonatele vectorului, adică vx și vy, sunt lungimea sa pentru axa x, respectiv lungimea sa pentru axa y.

Deci, dacă cunoaștem coordonatele, putem calcula modulul vectorului.

Modulul unui vector și teorema lui Pitagora

Desenul anterior nu îți amintește de o figură geometrică?

Exact, ne putem imagina că axele de coordonate de lângă vector formează un dreptunghi cu baza vx și înălțimea vy. Putem împărți acest dreptunghi în două triunghiuri simetrice, adică ambele vor avea aceeași bază și înălțime.

Triunghiul cu umbră albastră are o bază de vx și o înălțime de vy. Deci, cunoscând aceste informații putem cunoaște ipotenuza ei. Există o foarte faimoasă teoremă cunoscută sub numele de teorema lui Pitagora care este utilizată pentru aceste calcule.

Demonstrație

Știm că formula pitagorică este după cum urmează:

Unde h este hipotenuza, c este un picior și c este un alt picior.

În cazul nostru, știm cât valorează picioarele noastre, cu alte cuvinte, baza și înălțimea. Deci, putem conecta aceste informații la ecuație:

Procedăm la eliminarea pătratului lui h aplicând rădăcina pătrată:

Dacă spunem că vx = 3 și vy = 6:

Prin urmare, dacă v ar fi un vector cu coordonate (3,6), atunci am ști că modulul său este 6,7082. Exact, modulul său, deoarece formula pentru modulul oricărui vector v este:

Vedem că tocmai informațiile care ne lipsesc în ecuație coincid cu hipotenuza. Cu alte cuvinte, lungimea vectorului este ceea ce vrem să calculăm, iar hipotenuza este diagonala triunghiului. Prin urmare, putem concluziona că utilizarea teoremei lui Pitagora pentru a calcula modulul vectorului este o metodă validă.

Deci, dacă trebuie să calculăm modulul unui vector și nu ne amintim formula, ne putem gândi la teorema lui Pitagora și putem rezolva problema.

Exercițiul a fost rezolvat

Calculați modulul vectorului v cu coordonate (-3, -6) aplicând teorema lui Pitagora.

Modulul vectorului v cu coordonate (-3,6) calculate din formula teoremei lui Pitagora este, de asemenea, 6,7082.