Paradoxul de la Sankt Petersburg este un paradox observat de Nicolaus Bernoulli și care își are motivul de a fi în jocuri de noroc. Acest paradox ne spune că, în teoria deciziei, toate pariurile sunt admise, indiferent de valoarea lor, chiar dacă valoarea menționată ne arată că nu este o decizie rațională.
Paradoxul de la Sankt Petersburg, pentru a-l înțelege corect, a fost un paradox descris de Nicolaus Bernoulli, după ce a observat jocurile de noroc, motiv pentru care există acest paradox.
Teoria jocurilorÎn acest sens, paradoxul ne spune că teoria deciziilor formulate ne arată că decizia rațională, într-un joc de pariere, este totul, indiferent de suma pe care o presupune fiecare pariu. Cu toate acestea, analizând corect această situație și urmărind cu precizie teoria, observăm că nicio ființă rațională nu ar alege să ia decizia de a paria o sumă de bani aproape de infinit, deși teoria indică faptul că este rațională. Din acest motiv apare paradoxul.
Inițial, paradoxul este observat de Nicolaus Bernoulli, așa cum apare într-o scrisoare trimisă de acesta lui Pierre de Montmort, un aristocrat și matematician francez, la 9 septembrie 1713.
Cu toate acestea, deoarece studiul lui Nicolaus nu a obținut rezultate, el i-a prezentat paradoxul vărului său Daniel Bernoulli în 1715, matematician de origine olandeză și rector al Universității din Basel, care, întâlnindu-se la Saint Petersburg cu un grup proeminent de oameni de știință, și după ani de cercetare, a publicat în 1738 un nou sistem de măsurare în lucrarea sa „Expunerea unei noi teorii în măsurarea riscului”.
Modelul propus de Daniel, spre deosebire de cel propus de Nicolaus, pune bazele a ceea ce va rafina și completa mai târziu teoria utilității așteptate.
Formula paradoxului din Sankt Petersburg
Formularea propusă de Nicolaus Bernoulli vărului său și lui Pierre de Montmort este după cum urmează:
Să ne imaginăm un joc de noroc, la care jucătorul, evident, trebuie să plătească o sumă pentru a participa.
Să presupunem că jucătorul pariază pe cozi și aruncă moneda succesiv până la cozi. După cozi, jocul este oprit și jucătorul primește $ 2 n.
Astfel, dacă are cozi, jucătorul câștigă mai întâi 2 1, adică 2 USD. Însă, dacă vor fi din nou cozi, va primi 2 2, care este de 4 dolari, și așa mai departe. Dacă va ieși din nou, va fi de 8 dolari, care este echivalentul a 2 3; în timp ce, dacă iese a patra oară, premiul va fi de 16 dolari, fiind reprezentarea 2 4.
Astfel, întrebarea lui Nicolaus a fost următoarea: Ținând cont de secvența menționată mai sus și de profit, cât ar fi jucătorul dispus să plătească pentru acest joc fără a pierde raționalitatea?
Exemplu de paradox de la Sankt Petersburg
Având în vedere formularea propusă de Nicolaus și îndoiala pe care i-a pus-o matematicianului francez și vărului său, să vedem motivul acestui paradox, ca exemplu, pentru a înțelege la ce ne referim.
În primul rând, trebuie să știm că, înainte de începerea jocului, avem un număr infinit de rezultate posibile. Ei bine, chiar dacă probabilitatea este 1/2, cozile ar putea să nu iasă până la a 8-a rulare.
Prin urmare, probabilitatea ca această cruce să apară la aruncarea k este:
Pk = 1/2 k
De asemenea, profitul este de 2k.
Continuând cu dezvoltarea, primele cozi de pe prima aruncare prezintă un câștig de 21 (2 USD) și o probabilitate de 1/2. Cozile la a doua încercare au un câștig de 22 (4 dolari) și o probabilitate de 1/22; întrucât, dacă se urmărește la a treia încercare, jucătorul are o victorie de 23 (8 dolari) și o probabilitate de 1/23. După cum putem vedea, o relație care se extinde, atâta timp cât adăugăm rulează.
Înainte de a continua, trebuie remarcat faptul că în teoria deciziei numim așteptare matematică (EM), sau câștigul așteptat al unui joc, suma premiilor, asociată cu fiecare dintre rezultatele posibile ale jocului, și toate ponderate de probabilitatea ca fiecare dintre aceste rezultate să apară.
Dacă luăm în considerare abordarea care arată acest paradox, vedem că atunci când jucăm probabilitatea de a câștiga 2 dolari este 1/2, dar, în plus, probabilitatea de a câștiga 4 este 1/4, în timp ce cea de a câștiga 8 dolari este 1/8. Aceasta, până la atingerea unor situații precum câștigarea a 64 de dolari, probabilitatea pentru acest caz fiind de 1/64.
Astfel, cu aceste rezultate, dacă calculăm așteptarea matematică sau ceea ce cunoaștem ca câștig așteptat al jocului, trebuie să adăugăm câștigurile tuturor rezultatelor posibile ponderate de probabilitatea apariției lor, astfel încât rezultatul ne arată un infinit valoare.
Dacă urmăm teoria alegerii, aceasta ne spune că ar trebui să mizăm orice sumă pentru simplul fapt că fiecare decizie ne este favorabilă. Acum, faptul că este un paradox se datorează faptului că, în mod rațional, un jucător nu va paria la nesfârșit, chiar dacă teoria îl împinge să facă acest lucru.
Un paradox proeminent
Mulți au fost matematicienii care au încercat să descifreze paradoxul propus de Bernoulli, cu toate acestea, există și mulți care nu au reușit să-l rezolve.
Astfel, există numeroase exemple care ne arată cum paradoxul a încercat să fie rezolvat de matematicieni care au abordat atât structura jocului, cât și deciziile indivizilor înșiși. Cu toate acestea, până în prezent nu putem găsi încă o soluție validă.
Și este că, pentru a ne face o idee despre complexitatea acestui paradox, luând în considerare teoria alegerii din acest exemplu, presupunem ca posibil premiu, după calcul, un număr infinit de monede care, chiar presupunând că a fost posibil, ar fi incompatibil cu sistemul monetar în sine, deoarece este un ban care, contrar a ceea ce spune paradoxul, este limitat.
