Matricea varianță-covarianță - Ce este, definiție și concept

Matricea varianță-covarianță este o matrice pătrată de dimensiune nxm care colectează varianțele din diagonala principală și covarianța din elementele din afara diagonalei principale.

Cu alte cuvinte, matricea varianță-covarianță este o matrice care are același număr de rânduri și coloane și are variațiile distribuite pe diagonala principală și covarianțele pe elementele din afara diagonalei principale.

Reprezentarea matricei

Matricea varianță-covarianță este de obicei exprimată ca

Deși se pare că este simbolul însumării și că nu are nicio relație cu matricea varianță-covarianță, această literă greacă reprezintă perfect conținutul acestei matrice.

Pentru a o înțelege, să ne uităm mai întâi la expresia sa:

Știind că există m coloane, elipsa indică faptul că coloanele dintre a doua și ultima coloană au fost omise. În mod similar, știind că există n rânduri, elipsa indică faptul că rândurile dintre al doilea și ultimul rând au fost omise.

În acest caz, folosim sigma pentru a reprezenta covarianțele și sigma pătrată pentru varianțe. Ca exemplu:

Ce literă greacă apare în toate elementele matricei? Sigma.

Deci, este logic ca, pentru a defini matricea varianță-covarianță, să fie utilizată și o sigmă.

Scrisoare greacă

este forma capitală a

Deci, dacă ne amintim că matricea varianță-covarianță este exprimată ca majusculă a sigmei, va fi mai ușor să ne amintim definiția ei.

Cerințe pentru ca acesta să fie o matrice de varianță-covarianță

Cerințele pentru ca o matrice să fie varianță-covarianță sunt următoarele:

• Matricea pătrată: același număr de rânduri (n) ca și coloanele (m), atunci, n = m și, prin urmare, dimensiunea acestei matrice poate fi exprimată atât nxm, cât și nxn.
• În diagonala principală Sunt varianțele:

• În afara diagonalei principale Sunt covarianțe:

Aplicație

Matricea varianță-covarianță este foarte populară în econometrie, deoarece este utilizată în principal în calculul matricial al coeficienților de regresie liniară utilizând pătrate ordinare minime, printre alte utilizări.

În finanțe, este folosit pentru a obține o imagine generală a volatilității activelor financiare.

Expresia matematică a varianței și covarianței

Matematica este exprimată după cum urmează:

• Covarianța elementului n = 1 și m = 2

• Varianța elementului n = 1 și m = 1

Atât varianța, cât și covarianța pot fi corectate. Adică numitorul este n-1 în loc de n. Acest lucru se datorează gradelor de libertate și depinde dacă vorbim despre populație sau eșantioane și covarianțe ale eșantionului.