Seria Taylor - Ce este, definiție și concept
Seria Taylor este o serie de puteri care se extinde până la infinit, în care fiecare dintre adunări este ridicat la o putere mai mare decât cea anterioară.
Fiecare element din seria Taylor corespunde celei de-a derivate a funcției f evaluată la punctul a, între factorialul lui n (n!), Și toate acestea, înmulțite cu x-a ridicate la puterea n.
În termeni formali sau matematici, seria Taylor are următoarea formă:
Pentru a înțelege mai bine seria Taylor, trebuie să avem în vedere că a este un punct pe o linie tangentă la funcția f. Respectiva linie poate fi, la rândul ei, exprimată ca o funcție liniară a cărei pantă este aceeași pantă cu funcția f din punctul a.
Un alt aspect de reținut este că f este o funcție diferențiată de n ori la punctul a. Dacă n este infinit, este o funcție infinit diferențiată.
Într-un caz particular, când a = 0, seria este numită și seria McLaurin.
Diferența dintre serie și polinomul lui Taylor
Diferența dintre serie și polinomul lui Taylor este că, în primul caz, vorbim despre o secvență infinită, în timp ce în al doilea este o serie finită.
Astfel, polinomul Taylor poate fi definit ca o aproximare polinomială a unei funcții de n ori diferențiată la un punct specific (a).
Exemple din seria Taylor
Câteva exemple de variații ale seriei Taylor sunt:
- Functie exponentiala:
- Funcții trigonometrice:
Aplicații din seria Taylor
Unele aplicații din seria Taylor sunt:
- Analiza limitelor.
- Analiza punctelor staționare sau a punctelor de scaun în funcții.
- Aplicare în teorema L'Hopital (pentru rezolvarea limitelor).
- Estimare integrală.
- Estimarea convergențelor și divergențelor anumitor serii.
- Analiza activelor și produselor financiare, atunci când prețul este exprimat ca o funcție neliniară.
