Mulțimile finite sunt acelea a căror cardinalitate sau număr de elemente din ea este egală cu un număr natural.
Un set finit, cu alte cuvinte, este unul care are un număr de elemente care pot fi numărate. Fiind opusul unui set infinit, în care elementele sunt nenumărate.
O modalitate mai formală de a exprima că o mulțime este finită este aceea că elementele acelei mulțimi, pe care le vom numi M, pot fi asociate cu elementele mulțimii (1, 2, …, n), pe care o vom numi N. Aceasta este o secvență de numere întregi în care fiecare element este egal cu cel anterior, plus unitatea.
Astfel, elementele lui M și N pot fi împerecheate unul câte unul (ceea ce este cunoscut sub numele de corespondență unu-la-unu), fără a lăsa afară niciun element din cele două seturi.
De asemenea, se spune că M și N sunt echipotente, adică pentru fiecare element al lui M există un element al lui N.
În plus, numărul n (cel mai mare element al mulțimii N) coincide cu numărul de elemente ale lui M, unde n este cardinalul, cardinalitatea sau puterea lui N, iar notația sa este cardul (N), | N | sau #N.
Exemple de seturi finite
Câteva exemple de mulțimi finite ar fi următoarele:
- Numere întregi impare mai mari de 13 și mai mici de 29: (15, 17, 19, 21, 23, 25, 27)
- Oceanele Pământului: Atlantic, Pacific, Indian, Arctic, Antarctic
- Lista celor douăzeci de studenți care aparțin unei clase.
Proprietățile mulțimilor finite
Printre principalele proprietăți ale mulțimilor finite, se numără cele care sunt expuse mai jos:
- Unirea a două sau mai multe mulțimi finite are ca rezultat o mulțime finită.
- Intersecția (elementele în comun) a unei mulțimi finite cu una sau mai multe mulțimi este finită.
- Subsetul unui set finit este, de asemenea, finit.
- Subsetul C al unei mulțimi finite M este caracterizat prin faptul că are un număr mai mic de elemente decât M. Adică, este adevărat că: Dacă C ⊊ M și | M | = n, apoi | C | <n (Simbolul ⊊ înseamnă că C este un subset corespunzător al lui M. Adică toate elementele lui C sunt conținute în M, dar există cel puțin un element al lui M care nu este în C).
- Setul de putere al unui set finit M, care include toate subseturile care pot fi formate cu elementele setului M (inclusiv setul gol sau ∅), este finit și are 2n elemente, unde n este numărul de elemente din M. De exemplu, dacă avem:
(1, 3, 41)
Setul de putere ar fi: (∅, (1,3), (1,41), (3,41), (1), (3), (41), (1,3,41))
După cum putem vedea, setul de putere al unui set finit de trei elemente are opt (23) elemente.