Set algebra - Ce este, definiție și concept

Algebra set este o zonă de studiu, în cadrul matematicii și logicii, axată pe operațiile care pot fi efectuate între seturi.

Algebra mulțimilor face parte din ceea ce știm noi ca teorie a mulțimilor.

Trebuie amintit că un set este gruparea elementelor de diferite tipuri, cum ar fi litere, cifre, simboluri, funcții, figuri geometrice, printre altele.

Setați operațiile

Principalele operațiuni cu seturi sunt următoarele:

• Uniune: Unirea a două sau mai multe seturi conține toate elementele care aparțin cel puțin unuia dintre aceste seturi. Este indicat de litera U.

A = (9,34,57,6,9)

B = (10,41,57,9,16)

AUB = (9,34,57,6,9,10,41,16)

• Intersecție: Intersecția a două sau mai multe mulțimi include elementele pe care aceste mulțimi le împărtășesc. Este indicat de U inversat (∩). Exemplu:

A = (a, r, t, i, c, o)

B = (i, n, d, i, c, o)

A∩B = (i, c, o)

• Diferență: Diferența dintre o mulțime și alta este egală cu elementele primului set minus elementele celui de-al doilea. Este indicat prin simbolul sau -. Privit într-un alt mod, x ∈ a A B dacă x ∈ A, dar x ∉ B. Exemplu:

A = (21,34,56,17,7)

B = (78,21,17,36,80)

A-B = (34,56,7)

• Completa: Complementul unui set include toate elementele care nu sunt conținute în acel set (dar care aparțin unui alt set de referință universal). Este indicat de supercriptul C. Exemplu:

A = (3,9,12,15,18)

U (Univers) = Toți multiplii de 3 care sunt numere naturale întregi mai mici de 30.

LA^C=(6,21,24,27)

• Diferență simetrică: Diferența simetrică a două seturi include toate elementele care se află într-unul sau altul, dar nu ambele în același timp. Adică este uniunea mulțimilor minus intersecția lor. Simbolul său este Δ. Exemplu:

A = (17.81.99.131.65.32)

B = (11.54.71.65.99.27)

AΔB = (17,81,131,32,11,54,71,27)

• Produs cartezian: Este o operație care are ca rezultat un nou set, care conține ca elemente perechile ordonate sau tuplele (seria ordonată) ale elementelor care aparțin a două sau mai multe seturi. Sunt perechi ordonate dacă sunt două seturi și tupluri dacă avem mai mult de două seturi. Exemplu:

A = (8,15,6,51)

B = (x, y)

AxB = ((8, x), (8, y), (15, x), (15, y), (6, x), (6, y), (51, x), (51, y) )

BxA = ((x, 8), (x, 15), (x, 6), (x, 51), (y, 8), (y, 15), (y, 6), (y, 51) )

Legile algebrei stabilite

Legile algebrei stabilite sunt după cum urmează:

• Idempotență: Unirea sau intersecția unui set cu el însuși are ca rezultat același set:

XUX = X

X∩X = X

• Comutativ: Ordinea factorilor nu modifică rezultatul atunci când se constată unirea sau intersecția mulțimilor:

XUY = XUY

X∩Y = X∩Y

• Distributiv: Unirea unei mulțimi X, cu intersecția altor două mulțimi Y și Z, este egală cu intersecția uniunii X și Y, cu uniunea X și Z. Adică:

XU (Y∩Z) = (XUY) ∩ (XUZ)

Mai mult, același lucru este valabil dacă inversăm ordinea operațiilor:

X∩ (YUZ) = (X∩Y) U (X∩Z)

• Asociativ: Termenii unei operațiuni de unire sau de intersecție a mai multor mulțimi pot fi grupați indistinct, obținând întotdeauna același rezultat:

XU (XUY) = (XUY) UZ

X∩ (X∩Y) = (X∩Y) ∩Z

• Legea lui Morgan: Complementul unirii a două mulțimi este egal cu intersecția complementelor lor, iar complementul intersecției a două mulțimi este egal cu uniunea complementelor lor.

(XUY)^C= X^C∩Y^C

(X∩Y)^C= X^CUy^C

• Legea diferenței: Diferența unui set față de altul este egală cu intersecția primului cu complementul celui de-al doilea:

(X-Y) = X∩Y^C

• Legile complementare:
  • Unirea unei mulțimi cu complementul său nu este egală cu mulțimea universală. XUX^C= U
  • Intersecția unei mulțimi cu complementul său este egală cu mulțimea nulă sau goală. X∩X^C=∅
  • Complementul complementului unei mulțimi X este egal cu mulțimea X. (X^C)^C= X
  • Complementul setului universal este egal cu setul nul sau gol. X^C=∅
  • Complementul setului gol este egal cu setul universal. ∅^C= U

• Legile absorbției:
  • XU (X∩Y) = X
  • X∩ (XUY) = X
  • XU (X^C∩Y) = XUY
  • X∩ (X^CUY) = X∩Y