Algebra set este o zonă de studiu, în cadrul matematicii și logicii, axată pe operațiile care pot fi efectuate între seturi.
Algebra mulțimilor face parte din ceea ce știm noi ca teorie a mulțimilor.
Trebuie amintit că un set este gruparea elementelor de diferite tipuri, cum ar fi litere, cifre, simboluri, funcții, figuri geometrice, printre altele.
Setați operațiile
Principalele operațiuni cu seturi sunt următoarele:
- Uniune: Unirea a două sau mai multe seturi conține toate elementele care aparțin cel puțin unuia dintre aceste seturi. Este indicat de litera U.
A = (9,34,57,6,9)
B = (10,41,57,9,16)
AUB = (9,34,57,6,9,10,41,16)
- Intersecție: Intersecția a două sau mai multe mulțimi include elementele pe care aceste mulțimi le împărtășesc. Este indicat de U inversat (∩). Exemplu:
A = (a, r, t, i, c, o)
B = (i, n, d, i, c, o)
A∩B = (i, c, o)
- Diferență: Diferența dintre o mulțime și alta este egală cu elementele primului set minus elementele celui de-al doilea. Este indicat prin simbolul sau -. Privit într-un alt mod, x ∈ a A B dacă x ∈ A, dar x ∉ B. Exemplu:
A = (21,34,56,17,7)
B = (78,21,17,36,80)
A-B = (34,56,7)
- Completa: Complementul unui set include toate elementele care nu sunt conținute în acel set (dar care aparțin unui alt set de referință universal). Este indicat de supercriptul C. Exemplu:
A = (3,9,12,15,18)
U (Univers) = Toți multiplii de 3 care sunt numere naturale întregi mai mici de 30.
LAC=(6,21,24,27)
- Diferență simetrică: Diferența simetrică a două seturi include toate elementele care se află într-unul sau altul, dar nu ambele în același timp. Adică este uniunea mulțimilor minus intersecția lor. Simbolul său este Δ. Exemplu:
A = (17.81.99.131.65.32)
B = (11.54.71.65.99.27)
AΔB = (17,81,131,32,11,54,71,27)
- Produs cartezian: Este o operație care are ca rezultat un nou set, care conține ca elemente perechile ordonate sau tuplele (seria ordonată) ale elementelor care aparțin a două sau mai multe seturi. Sunt perechi ordonate dacă sunt două seturi și tupluri dacă avem mai mult de două seturi. Exemplu:
A = (8,15,6,51)
B = (x, y)
AxB = ((8, x), (8, y), (15, x), (15, y), (6, x), (6, y), (51, x), (51, y) )
BxA = ((x, 8), (x, 15), (x, 6), (x, 51), (y, 8), (y, 15), (y, 6), (y, 51) )
Legile algebrei stabilite
Legile algebrei stabilite sunt după cum urmează:
- Idempotență: Unirea sau intersecția unui set cu el însuși are ca rezultat același set:
XUX = X
X∩X = X
- Comutativ: Ordinea factorilor nu modifică rezultatul atunci când se constată unirea sau intersecția mulțimilor:
XUY = XUY
X∩Y = X∩Y
- Distributiv: Unirea unei mulțimi X, cu intersecția altor două mulțimi Y și Z, este egală cu intersecția uniunii X și Y, cu uniunea X și Z. Adică:
XU (Y∩Z) = (XUY) ∩ (XUZ)
Mai mult, același lucru este valabil dacă inversăm ordinea operațiilor:
X∩ (YUZ) = (X∩Y) U (X∩Z)
- Asociativ: Termenii unei operațiuni de unire sau de intersecție a mai multor mulțimi pot fi grupați indistinct, obținând întotdeauna același rezultat:
XU (XUY) = (XUY) UZ
X∩ (X∩Y) = (X∩Y) ∩Z
- Legea lui Morgan: Complementul unirii a două mulțimi este egal cu intersecția complementelor lor, iar complementul intersecției a două mulțimi este egal cu uniunea complementelor lor.
(XUY)C= XC∩YC
(X∩Y)C= XCUyC
- Legea diferenței: Diferența unui set față de altul este egală cu intersecția primului cu complementul celui de-al doilea:
(X-Y) = X∩YC
- Legile complementare:
- Unirea unei mulțimi cu complementul său nu este egală cu mulțimea universală. XUXC= U
- Intersecția unei mulțimi cu complementul său este egală cu mulțimea nulă sau goală. X∩XC=∅
- Complementul complementului unei mulțimi X este egal cu mulțimea X. (XC)C= X
- Complementul setului universal este egal cu setul nul sau gol. XC=∅
- Complementul setului gol este egal cu setul universal. ∅C= U
- Legile absorbției:
- XU (X∩Y) = X
- X∩ (XUY) = X
- XU (XC∩Y) = XUY
- X∩ (XCUY) = X∩Y