Vectori și valori proprii - Ce este, definiție și concept
Vectorii proprii sunt vectori înmulțiți cu o valoare proprie în transformările liniare ale unei matrice. Valorile proprii sunt constante care înmulțesc vectorii proprii în transformările liniare ale unei matrice.
Cu alte cuvinte, vectorii proprii traduc informațiile din matricea originală în multiplicarea valorilor și a unei constante. Valorile proprii sunt această constantă care înmulțește vectorii proprii și participă la transformarea liniară a matricei originale.
Deși numele său în spaniolă este foarte descriptiv, în engleză, vectorii proprii sunt numiți vectori proprii și valorile proprii, valori proprii.
Articole recomandate: tipologii de matrice, matrice inversă, determinant al unei matrice.
Vectori proprii
Vectorii proprii sunt seturi de elemente care prin multiplicarea oricărei constante, sunt echivalente cu înmulțirea matricei originale și a seturilor de elemente.
Matematic, un vector propriuV= (v1, …, Vn) a unei matrice pătrateÎ este orice vectorV care satisface următoarea expresie pentru orice constantăh:
QV = hV
Valorile proprii
Constanta h este valoarea proprie care aparține vectorului propriu V.
Valorile proprii sunt rădăcinile reale (rădăcini care au ca soluție numere reale) pe care le găsim prin ecuația caracteristică.
Caracteristicile valorilor proprii
- Fiecare valoare proprie are vectori proprii infiniti, deoarece există numere reale infinite care pot face parte din fiecare vector propriu.
- Sunt scalari, pot fi numere complexe (nu reale) și pot fi identici (mai mult de o valoare proprie egală).
- Există la fel de multe valori proprii pe cât de multe rânduri (m) sau coloane (n) are matricea originală.
Vectori și valori proprii
Există o relație de dependență liniară între vectori și valori proprii, deoarece valorile proprii înmulțesc vectorii proprii.
Matematic
Dacă V este un vector propriu al matriceiZ Da h este valoarea proprie a matricei Z, atuncihV este o combinație liniară între vectori și valori proprii.
Funcția caracteristică
Funcția caracteristică este utilizată pentru a găsi valorile proprii ale unei matriceZ pătrat.
Matematic
(Z - hl) V = 0
Unde ZDah sunt definite mai sus șiEu este matricea identității.
Termeni
Pentru a găsi vectori și valori proprii ale unei matrice, trebuie să fie satisfăcute:
- Matrice Z pătrat: numărul de rânduri (m) este același cu numărul de coloane (n).
- Matrice Z real. Majoritatea matricilor utilizate în finanțe au rădăcini reale. Ce avantaj există în utilizarea rădăcinilor reale? Ei bine, valorile proprii ale matricei nu vor fi niciodată numere complexe și asta, prieteni, ne rezolvă foarte mult viața.
- Matrice (Z- Salut) nu este inversabil: determinant = 0. Această condiție ne ajută să găsim mereu vectori proprii, alții decât zero. Dacă am găsi vectori proprii egali cu 0, atunci înmulțirea dintre valori și vectori proprii ar fi zero.
Exemplu practic
Presupunem că vrem să găsim vectorii și valorile proprii ale lui aZ Matrice de dimensiuni 2 × 2:
1. Înlocuim matricea Z DaEu în ecuația caracteristică:
2. Fixăm factorii:
3. Înmulțim elementele ca și când am fi căutat determinantul matricei.
4. Soluția la această ecuație pătratică este h = 2 și h = 5. Două valori proprii, deoarece numărul de rânduri sau coloane din matrice Z este 2. Deci, am găsit valorile proprii ale matricei Z care la rândul său fac determinantul 0.
5. Pentru a găsi vectorii proprii va trebui să rezolvăm:
6. De exemplu, (v1, v2) = (1,1) pentru h = 2 și (v1, v2) = (- 1,2) pentru h = 5:
