Transformarea liniară a matricelor
Transformarea liniară a matricelor sunt operații liniare prin matrici care modifică dimensiunea inițială a unui vector dat.
Cu alte cuvinte, putem modifica dimensiunea unui vector multiplicându-l cu orice matrice.
Transformările liniare sunt baza vectorilor și valorilor proprii ale unei matrice, deoarece acestea depind liniar una de cealaltă.
Articole recomandate: operații cu matrici, vectori și valori proprii.
Matematic
Definim o matriceC oricare dintre dimensiunile 3 × 2 înmulțite cu un vector V de dimensiunen = 2 astfel încât V = (v1, v2).
De ce dimensiune va fi vectorul rezultat?
Vectorul rezultat din produsul matriceiC3×2cu vectorV2×1va fi un nou V 'vector de dimensiunea 3.
Această modificare a dimensiunii vectorului se datorează transformării liniare prin matrice C.
Exemplu practic
Având în vedere matricea pătratăR cu dimensiunea 2 × 2 și vectorulV de dimensiunea 2.
O transformare liniară a dimensiunii vectoruluiV este:
unde dimensiunea inițială a vectorului V a fost 2 × 1 și acum dimensiunea finală a vectorului Vezi3 × 1. Această schimbare de dimensiune se realizează prin înmulțirea matricei R.
Aceste transformări liniare pot fi reprezentate grafic? Ei bine, desigur!
Vom reprezenta vectorul rezultat V 'într-un plan.
Atunci:
V = (2,1)
V ’= (6,4)
Grafic
Vectori proprii utilizând reprezentarea grafică
Cum putem determina că un vector este un vector propriu al unei matrici date doar uitându-ne la grafic?
Definim matriceaD de dimensiune 2 × 2:
Sunt vectorii v1= (1,0) și v2= (2,4) vectori proprii ai matricei D?
Proces
1. Să începem cu primul vector v1. Facem transformarea liniară anterioară:
Deci, dacă vectorul v1 este vectorul propriu al matricei D, vectorul rezultat v1„Și vectorul v1ar trebui să aparțină aceleiași linii.
Reprezentăm v1 = (1,0) și v1’ = (3,0).
Din moment ce ambele v1ca V1'Aparține aceleiași linii, v1 este un vector propriu al matricei D.
Din punct de vedere matematic, există o constantăh(valoare proprie) astfel încât:
2. Continuăm cu al doilea vector v2. Repetăm transformarea liniară anterioară:
Deci, dacă vectorul v2 este vectorul propriu al matricei D, vectorul rezultat v2„Și vectorul v2 ar trebui să aparțină aceleiași linii (ca graficul de mai sus).
Reprezentăm v2 = (2,4) și v2’ = (2,24).
Din moment ce v2 și V2'Nu aparține aceleiași linii, v2 nu este un vector propriu al matricei D.
Matematic, nu există o constantăh(valoare proprie) astfel încât:
