Modelul ARMA este un model staționar autoregresiv în care variabilele independente urmează tendințele stocastice și termenul de eroare este staționar.
Cu alte cuvinte, modelul ARMA încorporează autocorelația și modelul mediu mobil în regresia sa.
Articole recomandate: teoria mersului aleator, media condiționată, autoregresie.
Înțeles ARMA
Modelul ARMA, din engleză, Medie mobilă regresivă automată este împărțit în două părți:
- Autoregresiv: Variabila dependentă revine la ea însăși într-o perioadă de timpt.
- Medie mobilă: Contracarările sunt reprezentate de procese aleatorii.
Model AR
Matematic
1. Pornim de la modelul autoregresiv AR (p):
Unde:
Cu alte cuvinte, termenul de eroare urmează un proces stocastic (variabilă aleatorie).
2. Stabilim următoarea egalitate:
4. Înlocuim egalitatea anterioară în AR (p) și obținem:
4. Definim un nou polinom care depinde de R:
Atunci,
Dacă înmulțim noul polinom cu Xt și trecem toți parametrii și regresorii la stânga egalului, vom obține AR inițial (p).
Din modelul autoregresiv rămânem cu ultima ecuație:
Aceasta este contribuția modelului autoregresiv la modelul ARMA.
Model mediu în mișcare
Un model mediu în mișcare este o autoregresiune în care regresorii sunt termenii de eroare ai fiecărei perioadet.
Matematic
1. Pornim de la modelul autoregresiv AR (p) unde regresorii sunt termenul de eroare:
La fel ca modelul autoregresiv, termenul de eroare urmează un proces stocastic (variabilă aleatorie) astfel încât:
Modelul mediu mobil este întotdeauna staționar, adică variabilele independente (termenii de eroare întârziați) sunt variabile aleatorii. Cu alte cuvinte, termenii de eroare ai perioadei anterioare sunt independenți de termenii de eroare curenți și au aceeași distribuție de probabilitate (identică) cu media 0 și varianță condițională.
2. Stabilim următoarea egalitate:
3. Înlocuim egalitatea anterioară în AR (p) a termenului de eroare și obținem:
4. Definim un nou polinom care depinde de E:
Luăm un factor comun:
Din modelul mediu mobil rămânem cu ecuația punctului 4:
Modelul ARMA (p, q)
Matematic
Modelul general al seriei temporale autoregresive cu media mobilă dep termeni autoregresivi șice Termenii medii mobile se exprimă ca:
Nu vă panicați! Putem simplifica ceva?
Puteți oricând să simplificați lucrurile. Ne amintim de ecuațiile pe care le-am evidențiat anterior:
Model autoregresiv
Model mediu în mișcare
Deci, putem vedea că modelul ARMA este pur și simplu combinația dintre modelul autoregresiv și modelul mediu mobil (marcat cu galben).