O matrice nesimetrică este o matrice non-pătrată în care elementele matricei transpuse sunt în poziții diferite decât elementele matricei originale.
Cu alte cuvinte, matricea nesimetrică este o matrice în care numărul de rânduri (n) este diferit de numărul de coloane (m) și transpunerea matricei este diferită de matricea originală.
Este important să nu confundați matricile nesimetrice cu matricile antisimetrice, deoarece acestea sunt concepte foarte diferite și se referă la diferite elemente din matrice.
Pentru ca o matrice să fie simetrică, aceasta trebuie să fie o matrice pătrată și trebuie să fie egală cu matricea sa transpusă. Cu alte cuvinte, faptul că numărul de rânduri (n) este egal cu numărul de coloane (m) și că elementele matricei nu se modifică odată ce rândurile au fost modificate de coloane.
Matematic conceptul de simetrie înseamnă că aplicând operația de transpunere, elementele matricei nu se vor schimba.
Matricea simetrică și oglinzile
Vom înțelege mai bine conceptul de matrice nesimetrică dacă ne gândim la efectul pe care îl produce o oglindă.
Dacă ne uităm în oglindă ne vom vedea fața reflectată; dacă ridicăm o mână, o mână se va ridica și în oglindă. În același mod în care, dacă facem un gest, va apărea același gest reflectat.
Ei bine, același lucru se întâmplă cu diagonala principală a unei matrice simetrice. Elementele de sub sau deasupra diagonalei principale vor fi aceleași. Adică, diagonala principală a unei matrice simetrice acționează ca o oglindă a elementelor din jurul ei.
Având în vedere o matrice simetrică S,
Matrice S transpus ar avea următoarea formă:
Pentru mai multe informații despre proprietățile sale matematice, consultați articolul despre matricea simetrică.
Matricea și oglinzile nesimetrice
În cazul matricei nesimetrice, este ca și cum oglinda ar fi spartă.
Iar atunci când o oglindă este spartă nu reflectă bine elementele din fața ei. Putem ridica mâna dreaptă și putem vedea că patru mâini sunt ridicate sau niciuna nu este ridicată.
Deci, aplicând aceeași logică, matricea nesimetrică este despre a nu avea aceleași elemente deasupra sau sub diagonala principală și, de asemenea, că acestea nu sunt egale.
Astfel încât:
În această matrice nu putem găsi diagonala principală și, prin urmare, nu există simetrie în numărul de elemente. Mai mult, dacă transpunem matricea anterioară vom vedea că nu își păstrează starea inițială.
Matrice NS transpus ar avea următoarea formă:
Relua
Când întâlnim conceptul de matrice nesimetrică, trebuie doar să ne gândim la matricea simetrică și să punem o negație în fața caracteristicilor sale. Adică o matrice nesimetrică va fi astfel încât să satisfacă:
- Matrice nu pătrat.
- Matricea transpusă nu egală cu matricea originală.
Poate părea ușor să ne amintim ce este o matrice nesimetrică, dar când lucrăm cu matrici antisimetrice confundăm uneori conceptele.