Așteptarea matematică a unei variabile aleatorii X este numărul care exprimă valoarea medie a fenomenului pe care îl reprezintă această variabilă.
Așteptarea matematică, numită și valoarea așteptată, este egală cu suma probabilităților că există un eveniment aleator, înmulțit cu valoarea evenimentului aleator. Cu alte cuvinte, este valoarea medie a unui set de date. Acest lucru, ținând cont de faptul că termenul de așteptare matematică este inventat de teoria probabilității.
În timp ce în matematică, valoarea medie a unui eveniment care a avut loc se numește medie matematică. În distribuții discrete cu aceeași probabilitate în fiecare eveniment, media aritmetică este aceeași cu așteptarea matematică.
Exemplu de așteptare matematică
Să vedem un exemplu simplu pentru a-l înțelege.
Să ne imaginăm o monedă. Două capete, capete și cozi. Care ar fi așteptarea matematică (valoarea așteptată) că va ieși la iveală?
Așteptarea matematică ar fi calculată ca probabilitatea ca, prin răsucirea monedei de un număr foarte mare de ori, să se ridice.
Deoarece moneda poate ateriza doar într-una din aceste două poziții și ambele au aceeași probabilitate de ieșire, vom spune că așteptarea matematică că va ieși capete este una din două, sau ceea ce este același, 50% din timpul.
Vom face un test și vom arunca o monedă de 10 ori. Să presupunem că moneda este perfectă.
Rotiri și rezultat:
- Scump.
- Traversa.
- Traversa.
- Scump.
- Traversa.
- Scump.
- Scump.
- Scump.
- Traversa.
- Traversa.
De câte ori au fost capete (numărăm C-urile)? De 5 ori De câte ori au ieșit cozile (numărăm X-urile)? de 5 ori. Probabilitatea de a fi capete va fi 5/10 = 0,5 sau, procentual, 50%.
Odată ce acel eveniment a avut loc, putem calcula media matematică a numărului de ori în care a avut loc fiecare eveniment. Partea scumpă a ieșit una din două ori, adică 50% din timp. Media se potrivește cu așteptările matematice.
Calculul așteptării matematice
Așteptarea matematică este calculată utilizând probabilitatea fiecărui eveniment. Formula care oficializează acest calcul este enunțată după cum urmează:
Unde:
- X = valoarea evenimentului.
- P = Probabilitatea de a se întâmpla.
- eu = Perioada în care apare acest eveniment.
- N = Numărul total de perioade sau observații.
Probabilitatea producerii unui eveniment nu este întotdeauna aceeași, ca și în cazul monedelor. Există nenumărate cazuri în care un eveniment este mai probabil să apară decât altul. De aceea folosim P. În formulă, trebuie să înmulțim și cu valoarea evenimentului atunci când calculăm numerele matematice. Mai jos vedem un exemplu.
Pentru ce se utilizează așteptările matematice?
Așteptarea matematică este utilizată în toate acele discipline în care prezența evenimentelor probabiliste le este inerentă. Disciplinele precum statistica teoretică, fizica cuantică, econometria, biologia sau piețele financiare. Un număr mare de procese și evenimente care apar în lume sunt inexacte. Un exemplu clar și ușor de înțeles este cel al pieței de valori.
Pe piața bursieră, totul se calculează pe baza valorilor așteptate. De ce valorile așteptate? Pentru că este ceea ce sperăm să se întâmple, dar nu putem confirma acest lucru. Totul se bazează pe probabilități, nu pe certitudini. Dacă valoarea așteptată sau așteptarea matematică a randamentului unui activ este de 10% pe an, înseamnă că, pe baza informațiilor pe care le avem din trecut, este cel mai probabil ca randamentul să fie din nou de 10%. Dacă luăm în considerare, desigur, doar așteptările matematice ca metodă de a lua deciziile noastre de investiții.
În cadrul teoriilor pieței financiare, mulți folosesc acest concept de așteptare matematică. Printre aceste teorii se numără cea pe care Markowitz a dezvoltat-o pe portofele eficiente.
În cifre, simplificând mult, să presupunem că randamentele unui activ financiar sunt următoarele:
Rentabilitatea în anii 1, 2, 3 și 4.
- 12%.
- 6%.
- 15%
- 12%
Valoarea așteptată ar fi suma randamentelor înmulțite cu probabilitatea lor de a se produce. Probabilitatea ca fiecare rentabilitate „să se întâmple” este de 0,25. Avem patru observații, patru ani. În fiecare an au aceeași probabilitate de a se repeta.
Speranță = (12 x 0,25) + (6 x 0,25) + (15 x 0,25) + (12 x 0,25) = 3 + 1,5 + 3,75 + 3 = 11,25%
Luând în considerare aceste informații, vom spune că așteptarea rentabilității activului este de 11,25%.
Speranța de viață