O matrice antisimetrică este o matrice pătrată în care elementele din afara diagonalei principale sunt simetric egale, dar cele de sub diagonala principală poartă un semn negativ.
Cu alte cuvinte, o matrice antisimetrică este o matrice care are același număr de rânduri (n) și coloane (m), iar elementele de pe ambele părți ale diagonalei principale sunt complementare.
Deoarece elementele de deasupra și dedesubtul diagonalei principale sunt decalate, elementele de pe diagonala principală sunt zerouri.
Articol recomandat: matricea nesimetrică și matricea simetrică.
Caracteristicile matricei antisimetrice
Caracteristicile unei matrice antisimetrice sunt:
- Matricea pătrată.
- Matrice simetrică + semn negativ (-) în elementele de sub diagonala principală.
- Elementele diagonalei principale sunt zerouri (0).
Matricea antisimetrică
Dat fiind o matrice pătrată AS,
Putem vedea cum apar aceleași elemente pe ambele părți ale diagonalei principale, dar cu particularitatea că elementele de sub diagonala principală au un semn negativ în față. De asemenea, diagonala principală este alcătuită din zerouri.
Matricea și oglinzile antisimetrice
În același mod ca matricea simetrică, matricea antisimetrică poate fi de asemenea înțeleasă prin exemplul oglinzii.
Dacă ne privim în oglindă și ne ridicăm brațul drept, vom vedea că persoana din oglindă își ridică brațul stâng. Cu alte cuvinte, mișcarea oglinzii o completează pe a noastră și, prin urmare, suma ambelor ar duce la zero.
Putem exprima ideea de mai sus după cum urmează și deducem:
(Ridică mâna dreapta) - (Ridică mâna stânga) = 0
(Ridică mâna dreapta) = (Ridică mâna stânga)
Diagonala principală acționează ca o oglindă și vedem elemente opuse pe ambele părți ale diagonalei principale. Funcția neutră (=) se mapează la diagonala principală.
Proprietate
- Matricea transpusă a unei matrice antisimetrice este egală cu matricea antisimetrică înmulțită cu (-1).
Cu alte cuvinte, ar fi ca și cum ai adăuga un semn negativ în fața matricei antisimetrice.
Matematic,
Putem vedea că cu ambele proceduri ajungem la același rezultat: transformarea matricei sau multiplicarea cu (-1) a matricei antisimetrice.
Matricea nesimetrică vs Matricea antisimetrică vs Matricea simetrică
Exemplul oglinzii în cazul matricei simetrice este suficient pentru a reflecta aceeași mișcare, adică dacă ridicăm un braț, putem vedea un braț ridicat, dar nu este necesar să specificăm ce este. În cazul matricei antisimetrice, trebuie să verificăm ce braț vedem în oglindă și să determinăm dacă este o matrice antisimetrică.
Dacă ridicăm un braț și în oglindă vedem că …
- Același braț este ridicat, din punctul de vedere al persoanei din oglindă, atunci este o matrice simetrică.
- Brațul opus este ridicat, din punctul de vedere al persoanei din oglindă, atunci este o matrice antisimetrică.
- Dacă niciun braț nu este ridicat sau mai mult de unul nu este ridicat, din punctul de vedere al persoanei din oglindă, atunci este o matrice nesimetrică.