Matricea simetrică - Ce este, definiție și concept

O matrice simetrică este o matrice de ordinul n cu același număr de rânduri și coloane în care matricea sa transpusă este egală cu matricea originală.

Cu alte cuvinte, o matrice simetrică este o matrice pătrată și este identică cu matricea după ce a schimbat rânduri pentru coloane și coloane pentru rânduri.

Cerințe

Pentru ca orice matrice să fie o matrice simetrică, trebuie să îndeplinească următoarele restricții:

Având în vedere o matrice simetrică P de ordine n,

• A fi matrice pătrată.

Numărul de rânduri (n) trebuie să fie același cu numărul de coloane (m). Adică ordinea matricei trebuie să fie n având în vedere că n = m.

• Matricea originală trebuie să fie egală cu a sa matricea transpusă.

Demonstrație:

Proprietăți

• Matricea adiacentă a unei matrici simetrice este, de asemenea, o matrice simetrică.

Demonstrație:

• Adunarea sau scăderea a două matrice simetrice are ca rezultat o altă matrice simetrică.

Demonstrație:

Având în vedere două matrici simetrice P Da T de ordinul 3, obținem o altă matrice simetrică S din suma.

De ce se numește o matrice simetrică?

Proprietatea simetriei este dată de elementele din jurul diagonalei principale. Deoarece o matrice pătrată este o matrice simetrică, va avea întotdeauna același număr de elemente deasupra și sub diagonala principală. Aceste elemente sunt aceleași simetric. Adică diagonala principală acționează ca o oglindă.

Dovada simetriei și a asimetricității unei matrice

Matricea simetrică

Scrisoarea d reprezintă elementele diagonalei principale. Celelalte litere reprezintă orice număr real. Putem vedea că diagonala principală acționează ca o oglindă: reflectă elementele de pe ambele părți. Cu alte cuvinte, atunci când elementele de pe ambele părți ale diagonalei sunt simetric egale, spunem că matricea P este o matrice simetrică.

Matricea nesimetrică

Matrice X Nu este o matrice simetrică, deoarece nu este o matrice pătrată, iar matricea sa transpusă este diferită de matricea originală. În plus, nici nu are o diagonală principală.