O matrice simetrică este o matrice de ordinul n cu același număr de rânduri și coloane în care matricea sa transpusă este egală cu matricea originală.
Cu alte cuvinte, o matrice simetrică este o matrice pătrată și este identică cu matricea după ce a schimbat rânduri pentru coloane și coloane pentru rânduri.
Cerințe
Pentru ca orice matrice să fie o matrice simetrică, trebuie să îndeplinească următoarele restricții:
Având în vedere o matrice simetrică P de ordine n,
- A fi matrice pătrată.
Numărul de rânduri (n) trebuie să fie același cu numărul de coloane (m). Adică ordinea matricei trebuie să fie n având în vedere că n = m.
- Matricea originală trebuie să fie egală cu a sa matricea transpusă.
Demonstrație:
Proprietăți
- Matricea adiacentă a unei matrici simetrice este, de asemenea, o matrice simetrică.
Demonstrație:
- Adunarea sau scăderea a două matrice simetrice are ca rezultat o altă matrice simetrică.
Demonstrație:
Având în vedere două matrici simetrice P Da T de ordinul 3, obținem o altă matrice simetrică S din suma.
De ce se numește o matrice simetrică?
Proprietatea simetriei este dată de elementele din jurul diagonalei principale. Deoarece o matrice pătrată este o matrice simetrică, va avea întotdeauna același număr de elemente deasupra și sub diagonala principală. Aceste elemente sunt aceleași simetric. Adică diagonala principală acționează ca o oglindă.
Dovada simetriei și a asimetricității unei matrice
Matricea simetrică
Scrisoarea d reprezintă elementele diagonalei principale. Celelalte litere reprezintă orice număr real. Putem vedea că diagonala principală acționează ca o oglindă: reflectă elementele de pe ambele părți. Cu alte cuvinte, atunci când elementele de pe ambele părți ale diagonalei sunt simetric egale, spunem că matricea P este o matrice simetrică.
Matricea nesimetrică
Matrice X Nu este o matrice simetrică, deoarece nu este o matrice pătrată, iar matricea sa transpusă este diferită de matricea originală. În plus, nici nu are o diagonală principală.
Matrice de identitate
