O matrice inversă este transformarea liniară a unei matrice prin înmulțirea inversului determinantului matricei cu matricea adiacentă transpusă.
Cu alte cuvinte, o matrice inversă este multiplicarea inversului determinantului prin matricea adiacentă transpusă.
Articole recomandate: determinant al unei matrice, matrice pătrată, diagonală principală și operații cu matrice.
Având în vedere orice matrice X astfel încât
Formula matricei inverse a unei matrice de ordinul 2
Atunci matricea inversă a lui X va fi
Folosind această formulă obținem matricea inversă a unei matrice pătrate de ordinul 2.
Formula de mai sus poate fi exprimată și prin determinantul matricei.
Formula matricei inverse a unei matrice de ordinul 2
Cele două linii paralele din jurul X din numitor indică faptul că este determinantul matricei X.
Când o matrice pătrată are o matrice inversă, spunem că este o matrice obișnuită.
Cerințe
Pentru a găsi matricea inversă a unei matrice de ordin n trebuie să îndeplinim următoarele cerințe:
- Matricea trebuie să fie o matrice pătrată.
Numărul de rânduri (n) trebuie să fie același cu numărul de coloane (m). Adică ordinea matricei trebuie să fie n având în vedere că n = m.
- Determinantul trebuie să fie diferit de zero (0).
Determinantul matricei trebuie să fie diferit de zero (0) deoarece participă la formulă ca numitor. Dacă numitorul ar fi un zero (0) am avea o nedeterminare.
Dacă numitorul (ad - bc) = 0, adică determinantul matricei X este egal cu zero (0), atunci matricea X nu are matrice inversă.
Proprietate
O matrice pătrată X de ordinul n va avea o matrice inversă X de ordinul n, X-1, astfel încât să îndeplinească asta
Ordinea elementelor înmulțirii nu este relevantă, adică multiplicarea oricărei matrice pătrate prin matricea sa inversă va avea ca rezultat întotdeauna matricea identitară de același ordin.
În acest caz, ordinea matricei X este 2. Deci, putem rescrie proprietatea anterioară ca:
Exemplu practic
Găsiți matricea inversă a matricei V.
Pentru a rezolva acest exemplu putem aplica formula sau mai întâi calculăm determinantul și apoi îl putem înlocui.
Formulă
Formula cu determinant
Calculăm mai întâi determinantul matricei V și apoi îl substituim cu formula.
Deci, obținem că determinantul matricei V este diferit de zero (0) și putem spune că matricea V are o matrice inversă.
Obținem același rezultat folosind formula sau mai întâi calculând determinantul și apoi substituindu-l.
Ordinea matricei inverse este aceeași cu ordinea matricei originale. În acest caz, vom avea același număr de rânduri n și coloane m atât în matricea V, cât și în V-1.
Matricea transpusă