Doi vectori liniar dependenți sunt doi vectori care nu se pot combina liniar și, prin urmare, nu pot forma o bază în plan.
Cu alte cuvinte, doi vectori sunt liniari dependenți atunci când nu îi putem scrie ca o combinație liniară și, prin urmare, nu vor putea forma o bază. Combinația liniară de vectori creează o ecuație în care apar doi vectori și două numere reale.
Formulă
Având în vedere următorii vectori și orice numere reale:
Puteți crea o combinație liniară a ambelor prin introducerea a două numere reale. Unde lambda Da mu sunt numere reale care indică greutatea fiecărui vector.
Deci combinația liniară ar fi:
Această combinație liniară poate fi exprimată ca un alt vector, de exemplu, w:
Deci, cu expresia anterioară spunem că vectorul w este o combinație liniară de vectori la Da v.
Când găsim combinații liniare de vectori și nu apar numere în fața vectorilor, adică parametrii lambda Da mu, asta înseamnă că sunt 1.
Deci, dacă doi vectori sunt liniari dependenți, înseamnă că nu îi putem exprima ca o combinație liniară a lor:
În geometria analitică se mai numește ca fiind doi vectori proporționali.
Reprezentare
Cum arată doi vectori liniar dependenți?
În primul rând, reprezentăm vectorii separat și în al doilea rând, reprezentăm vectorii în același plan:
Exemplu paralelipiped
Presupunem că avem trei vectori și vrem să-i exprimăm ca o combinație liniară. Știm, de asemenea, că fiecare vector provine din același vârf și constituie abscisa acelui vârf. Figura geometrică este un paralelipiped.
Deoarece ne informează că figura geometrică formată din acești vectori sunt abscisa unui paralelipiped, atunci vectorii delimitează fețele figurii:
Trei vectori:
Cum putem ști dacă vectorii sunt liniari dependenți dacă nu ne oferă informații despre coordonatele lor?
Ei bine, folosind logica. Dacă vectorii ar fi dependenți liniar, atunci toate fețele paralelipipedului s-ar prăbuși. Cu alte cuvinte, ar fi la fel.
Prin urmare, vectorii anteriori nu ar fi dependenți liniar, deoarece nu ar putea forma un paralelipiped.