Limita Cramér-Rao (CCR) este varianța minimă pe care, având în vedere condițiile de regularitate, poate ajunge un estimator al unui parametru.
Cu alte cuvinte, căutăm varianța cea mai apropiată de această limită inferioară pentru a găsi cel mai bun estimator în funcție de proprietățile imparțialității și eficienței.
Se recomandă să citiți proprietățile estimatorilor
Aceste proprietăți sunt folosite atunci când trebuie să alegem un estimator pentru a efectua o analiză econometrică. Dacă dorim ca rezultatele noastre să fie concludente, cel puțin, va trebui să solicităm ca estimatorul să fie imparțial și să aibă cea mai mică varianță posibilă dintre toți estimatorii imparțiali (eficiență).
Deși luăm în considerare toți estimatorii imparțiali, atunci când căutăm estimatorul de varianță minimă, se poate întâmpla să existe un alt estimator imparțial care să aibă o varianță mai mică.
Astfel încât niciun estimator imparțial cu varianță minimă nu ne scapă, stabilim o limită minimă sau inferioară pe care varianța estimatorului imparțial al unui parametru nu o poate depăși.
Ne uităm doar la estimatorii imparțiali, deoarece estimatorii părtinitori pot avea varianțe mai mici decât CCR.
Formulare
Definim:
f (X; Θ): funcția densității probabilității.
E (·): speranță matematică.
I (Θ): Informații Fisher ale unui parametru.
Reprezintă „cantitatea de informații” despre valoarea parametrului conținut într-o observație a variabilei aleatoare X.
Formulă:
Nu vă panicați! Ce putem vedea la prima vedere din această formulă?
- Putem vedea că este o inegalitate non-strictă (≥) în loc de o egalitate (=). Acest lucru se datorează faptului că, în unele cazuri, nu găsim (nu există) un estimator imparțial care ajunge la limita CCR. Prin urmare, spunem că căutăm varianța unui estimator imparțial cât mai aproape de această limită inferioară. În plus, CCR ne spune care va fi varianța minimă a estimatorului, sub această cifră nu poate fi găsită.
- Partea din dreapta (var (Θ ’) este varianța estimării parametrului nostru.
- Partea din stânga (1 / J (Θ)) este minimul insurmontabil al varianței.
- Dacă căutăm un minim (absolut) pentru varianța estimatorului lui Θ, este logic să apară derivate parțiale (derivate față de Θ).
- În economie, derivatele parțiale sunt utilizate în condiții de ordinul întâi și al doilea pentru a optimiza funcțiile utilității: găsiți maximele și respectiv minimele relative și absolute.
- CCR utilizează prima derivată parțială a parametrului Θ pe funcția densității probabilității f (X; Θ)
- Pentru ușurința calculului, în unele cazuri a doua informație derivată și alternativă Fisher sunt utilizate pentru a obține CCR.
Estimatorii care, fiind nepărtinitori, au o varianță egală cu CCR, atunci vor fi considerați ca fiind cei mai eficienți. În mod similar, cei imparțiali a căror varianță este mai apropiată vor fi considerați relativ mai eficienți decât ceilalți estimatori (mai departe).