Trapezul isoscel este unul în care cele două laturi neparalele sale, cele care unesc cele două baze ale figurii, au aceeași lungime.
Trebuie amintit că un trapez este un patrulater (poligon cu patru fețe) caracterizat prin faptul că are două laturi numite baze. Acestea sunt paralele (nu se încrucișează, nici măcar dacă sunt prelungite) și de lungimi diferite. De asemenea, celelalte două părți ale sale nu sunt paralele.
Trapezul isoscel este unul dintre cele trei tipuri de trapez, împreună cu trapezul drept și trapezul scalen.
Caracteristicile trapezului isoscel
Printre caracteristicile trapezului isoscel se remarcă următoarele:
- În figura de mai jos, dacă trapezul este isoscel, laturile AB și CD au aceeași lungime.
- Cele două unghiuri interioare, situate pe aceeași bază, măsoară la fel. Dacă suntem ghidați de imaginea de mai jos, ar fi adevărat următoarele: α = β și δ = γ.
- Diagonalele din figură, AC și DB, au aceeași lungime.
- Unghiurile interioare, care sunt opuse, sunt suplimentare. Adică formează un unghi drept. În imaginea inferioară s-ar observa următoarele: α + γ = α + δ = β + δ = β + γ = 180º.
- Două dintre unghiurile sale interioare sunt acute (mai puțin de 90 °), în timp ce celelalte două sunt obtuze (mai mari de 90 °). Astfel, în figura de mai jos, α și β sunt obtuze, în timp ce δ și γ sunt acute.
- Cele patru unghiuri interioare se ridică la 360 °.
- Trapezul isoscel este singurul tip de trapez care poate fi înscris pe o circumferință. Adică, cele patru vârfuri ale sale pot trece prin perimetrul unui cerc (vezi desenul de mai jos).
- Are o axă de simetrie, care ar fi linia EF din imaginea de mai jos. Acesta este perpendicular pe baze (formează un unghi drept sau 90º) și le taie în punctul lor mediu. Astfel, la desenarea axei menționate, poligonul este împărțit în două părți simetrice. Adică, fiecare punct de pe o parte corespunde unui punct de pe cealaltă parte, ambele fiind echidistante de axa de simetrie. De exemplu, distanța dintre punctul B și punctul F este aceeași distanță care există între punctul F și punctul C.
Perimetrul și aria trapezului isoscel
Pentru a înțelege mai bine caracteristicile unui trapez isoscel, putem calcula următoarele măsurători:
- Perimetru: Adăugăm lungimea fiecărei fețe a figurii: P = AB + BC + CD + AD.
- Zonă: Ca în orice trapez, pentru a-și găsi aria, se adaugă bazele, împărțite la două și înmulțite cu înălțimea. Așa cum se indică în formula prezentată mai jos:
Acum, pentru a calcula înălțimea, putem trage două înălțimi din vârfurile A și D, așa cum putem vedea în figura de mai jos:
Avem, atunci, triunghiul ADFG; unde AD este egal cu FG, iar triunghiurile formate pe laturi sunt congruente. Prin urmare, BF este același cu GC. Vom presupune că ambele măsoară la.
Prin urmare, ar fi adevărat că:
Acum observăm că triunghiurile formate lateral sunt triunghiuri dreptunghiulare, deci teorema lui Pitagora poate fi aplicată. De exemplu, în triunghiul ABF, AB este hipotenuza, în timp ce AF (înălțimea pe care o vom numi h) și BF sunt picioarele.
De asemenea, trebuie să avem în vedere că AB este același cu DC. Astfel, dacă înlocuim cele de mai sus în formula zonei, am avea aria în funcție de laturile trapezului:
O altă modalitate de a calcula aria unui trapez este prin înmulțirea diagonalelor, împărțirea la două și înmulțirea cu sinusul unghiului pe care îl formează atunci când se intersectează, amintind că ambele diagonale sunt egale:
Este demn de remarcat faptul că la intersecția diagonalelor, unghiurile opuse sunt egale, iar adiacentul este unghiul lor suplimentar.
Știind atunci că sinusul unui unghi este egal cu sinusul unghiului său suplimentar, se poate alege oricare dintre unghiurile de la intersecția diagonalelor.
Rezumând, în imaginea de mai jos este adevărat că: α = γ, β = δ și α + β = γ + δ = α + δ = β + γ = 180º
Pentru a găsi diagonala putem folosi următoarea formulă:
Prin urmare, zona ar fi:
Exemplu de trapez isoscel
Să ne imaginăm că avem un trapez cu baze care măsoară 4 și 8 metri, în timp ce laturile neparalele măsoară fiecare 3,6 metri, ambele fiind egale (deci trapezul este isoscel), cât de lung este perimetrul (P), aria ( A) și diagonala (D) a figurii?
