O combinație liniară de vectori apare atunci când un vector poate fi exprimat ca o funcție liniară a altor vectori care sunt liniar independenți.
Cu alte cuvinte, combinația liniară de vectori este că un vector poate fi exprimat ca o combinație liniară de alți vectori care sunt liniar independenți unul de celălalt.
Cerințe pentru combinația liniară de vectori
Combinația liniară de vectori trebuie să îndeplinească două cerințe:
- Că un vector poate fi exprimat ca o combinație liniară de alți vectori.
- Fie ca acești alți vectori să fie liniari independenți unul de celălalt.
Combinație liniară în calcul
În matematica de bază suntem obișnuiți să vedem frecvent combinații liniare fără să ne dăm seama. De exemplu, o linie este o combinație a unei variabile față de cealaltă, astfel încât:
Dar rădăcinile, logaritmii, funcțiile exponențiale … nu mai sunt combinații liniare, deoarece proporțiile nu rămân constante pentru întreaga funcție:
Deci, dacă vorbim despre combinația liniară de vectori, structura ecuației va avea următoarea formă:
Deoarece vorbim despre vectori și ecuația anterioară se referă la variabile, pentru a construi combinația de vectori trebuie doar să înlocuim variabilele cu vectori. Să fie următorii vectori:
Deci, le putem scrie ca combinație liniară după cum urmează:
Vectorii fiind liniar independenți unul de celălalt.
Scrisoare greacă lambda acționează ca parametru m în ecuația generală a liniei. Lambda va fi orice număr real și, dacă nu apare, se spune că valoarea sa este egală cu 1.
Că vectorii sunt liniar independenți înseamnă că niciunul dintre vectori nu poate fi exprimat ca o combinație liniară a celorlalți. Se știe că vectorii independenți formează o bază a spațiului și vectorul dependent aparține și acelui spațiu.
Exemplu paralelipiped
Presupunem că avem trei vectori și vrem să-i exprimăm ca o combinație liniară. Știm, de asemenea, că fiecare vector provine din același vârf și constituie abscisa acelui vârf. Figura geometrică este un paralelipiped. Întrucât ne informează că figura geometrică pe care o formează acești vectori sunt abscisa unui paralelipiped, atunci vectorii delimitează fețele figurii.
În primul rând, trebuie să știm dacă vectorii sunt liniari dependenți. Dacă vectorii sunt liniari dependenți, atunci nu putem forma o combinație liniară din aceștia.
Trei vectori:
Cum putem ști dacă vectorii sunt liniari dependenți dacă nu ne oferă informații despre coordonatele lor?
Ei bine, folosind logica. Dacă vectorii ar fi dependenți liniar, atunci toate fețele paralelipipedului s-ar prăbuși. Cu alte cuvinte, ar fi la fel.
Prin urmare, putem exprima un nou vector w ca rezultat al combinației liniare a vectorilor anteriori:
Vector care reprezintă combinația vectorilor anteriori:
Grafic:
