Teorema lui Thales este o lege a geometriei care ne spune că, dacă o linie este trasată paralel cu ambele părți ale unui triunghi, vom avea un triunghi similar cu triunghiul original.
Cu alte cuvinte, dacă tăiem un triunghi trasând o linie paralelă cu una dintre laturile sale, vom obține un triunghi similar cu cel existent anterior.
În acest moment, trebuie remarcat faptul că două triunghiuri sunt similare atunci când unghiurile lor corespunzătoare sunt congruente (măsoară la fel) și laturile lor omoloage sunt proporționale între ele.
Pentru a o înțelege mai bine, să ne uităm la următoarea figură:
Prin teorema lui Thales se poate concluziona că α = δ și β = ε
În plus, așa cum am menționat anterior, laturile sunt proporționale, deci este adevărat că:
O anecdotă relatată de istoricul Plutarh spune că Thales din Milet, într-una din călătoriile sale, a folosit această teoremă pentru a cunoaște înălțimea piramidelor din Giza (cele ale lui Keops, Khafre și Menkaure) din Egipt. Astfel, a decis să pună un băț vertical pe sol, așteptând ca lungimea obiectului să fie egală cu umbra pe care a aruncat-o. În acel moment, umbra piramidei ar fi, de asemenea, egală cu înălțimea sa. În acest caz, triunghiurile similare sunt:
- Cel al cărui două laturi sunt tija și umbra ei.
- Triunghiul care are ca una dintre laturile sale înălțimea piramidei și, ca o altă latură, umbra sa.
Pentru a o înțelege mai bine, să ne imaginăm în figura de mai sus că piramida este cea formată din vârfurile D, E și F, înălțimea sa este segmentul HE și umbra sa, IE. Între timp, tija este segmentul AB și umbra sa, CB. Prin urmare, AB / CB = HE / IE. Acest lucru, ținând cont de faptul că razele soarelui sunt paralele (nu se traversează sau în prelungirea lor), deci vor forma același unghi cu tija ca și cu piramida (unghiurile α și β sunt egale).
Exemplul teoremei Thales
Pentru a înțelege mai bine teorema lui Thales, să ne uităm la următoarea figură:
Dacă BC măsoară 7,3 metri, DE măsoară 3,6 metri și AB măsoară 6,2 metri. Care este lungimea AD?
Izolăm în formula prezentată anterior și avem:
7,3 / 3,6 = 6,2 / AD
2.0278 = 6,2 / AD
AD = 3.0575 metri
Extinderea teoremei lui Thales
Teorema lui Thales poate fi extinsă la analiza oricăror două linii care sunt tăiate de alte linii paralele între ele, așa cum vedem în următoarea imagine:
Apoi, este adevărat că:
Acest lucru este adevărat, deoarece trebuie să ne gândim la acele linii ca făcând parte dintr-un triunghi sau, pentru a vedea altfel, dacă extindem liniile AB și CD, acestea se vor încrucișa. Mai bine îl vedem în următoarea imagine:
A doua teoremă a lui Thales
Există, de asemenea, o a doua teoremă a lui Thales conform căreia, dacă avem un triunghi format din diametrul unei circumferințe și două linii care o intersectează (tăie figura în două puncte), acel unghi care este opus diametrului este drept, adică ,, măsoară 90º.
Trebuie amintit că un diametru este acel segment care, trecând prin centrul circumferinței, unește două puncte opuse ale figurii menționate.
Putem vedea mai bine cele de mai sus în următoarea imagine:
Putem verifica această teoremă luând în considerare faptul că AC, AD și AB măsoară la fel și sunt egale cu raza circumferinței (raza este orice segment care unește un punct de pe circumferință cu centrul figurii și este egal cu jumătate diametru). Deci, triunghiurile ABC și ABD sunt isoscele și cele două laturi similare ale acestora sunt unghiuri opuse care măsoară la fel, adică:
AC = AD = AB = r (raza circumferinței)
γ = β și α = δ
Apoi, dacă vedem triunghiul CBD și ne amintim că unghiurile interne ale unui triunghi trebuie să adauge până la 180 °, avem:
γ + β + α + δ = 180º
2β + 2α = 180º
2 (α + β) = 180º
α + β = 90º
Prin urmare, triunghiul CBD este un triunghi dreptunghiular.