Ecuații funcționale - Ce este, definiție și concept

Ecuațiile funcționale sunt cele care au o altă funcție ca fiind necunoscută. O funcție care poate fi legată de o operație algebrică, cum ar fi adunarea, scăderea, divizarea, multiplicarea, puterea sau rădăcina.

Și ecuațiile funcționale pot fi definite ca acelea care nu sunt ușor de redus la o funcție algebrică, de tip f (x) = 0, pentru rezoluția lor.

Ecuațiile funcționale sunt caracterizate deoarece nu există o singură modalitate de a le rezolva. În plus, variabila în cauză poate lua valori diferite (o vom vedea cu exemple).

Exemple de ecuații funcționale

Câteva exemple de ecuații funcționale sunt:

f (xy) = f (x). f (y)

f (x²+ și²) = f (xy)²/2

f (x) = f (x + 3) / x

În cazuri ca cele anterioare, se poate adăuga, de exemplu, că x aparține setului de numere reale, adică x ∈ R (zero poate fi exclus).

Exemple de ecuații funcționale

Să vedem câteva exemple de ecuații funcționale rezolvate:

f (1 / 2x) = x-3f (x)

Deci, dacă înlocuiesc x cu 1/2 / x:

f (1/2 (1 / 2x)) = (1 / 2x) -3f (1 / 2x)

f (x) = (1 / 2x) -3f (1 / 2x)

f (x) = (1 / 2x) -3 (x-3f (x))

f (x) = (1 / 2x) -3x + 9f (x)

8f (x) = 3x- (1 / 2x)

f (x) = (3/8) x- (1 / 16x)

Acum, să vedem un alt exemplu cu ceva mai multă dificultate, dar în care vom proceda în mod similar:

X²f (x) -f (5-x) = 3x … (1)

În acest caz, mai întâi rezolvăm pentru f (5-x)

f (5-x) = x²f (x) -3x … (2)

Acum, înlocuiesc x cu 5-x în ecuația 1:

(5-x)²f (5-x) -f (5- (5-x)) = 3 (5-x)

(25-10x + x²) .f (5-x) -f (x) = 15-3x

Ne amintim că f (5-x) se află în ecuația 2:

(25-10x + x²). (X²f (x) -3x) -f (x) = 15-3x

25x²-75x-10x³f (x) + 30x²+ x⁴f (x) -3x³-f (x) = 15-3x

f (x) (x⁴-10x³-1) = 3x³-55x²+ 72x

f (x) = (3x³-55x²+ 72x) / (x⁴-10x³-1)

Ecuația funcțională a lui Cauchy

Funcția funcțională Cauchy este una dintre cele mai elementare de acest gen. Această ecuație are următoarea formă:

f (x + y) = f (x) + f (y)

Presupunând că x și y se află în mulțimea numerelor raționale, soluția acestei ecuații ne spune că f (x) = cx, unde c este orice constantă, la fel se întâmplă și cu f (y).