Ecuațiile funcționale sunt cele care au o altă funcție ca fiind necunoscută. O funcție care poate fi legată de o operație algebrică, cum ar fi adunarea, scăderea, divizarea, multiplicarea, puterea sau rădăcina.
Și ecuațiile funcționale pot fi definite ca acelea care nu sunt ușor de redus la o funcție algebrică, de tip f (x) = 0, pentru rezoluția lor.
Ecuațiile funcționale sunt caracterizate deoarece nu există o singură modalitate de a le rezolva. În plus, variabila în cauză poate lua valori diferite (o vom vedea cu exemple).
Exemple de ecuații funcționale
Câteva exemple de ecuații funcționale sunt:
f (xy) = f (x). f (y)
f (x2+ și2) = f (xy)2/2
f (x) = f (x + 3) / x
În cazuri ca cele anterioare, se poate adăuga, de exemplu, că x aparține setului de numere reale, adică x ∈ R (zero poate fi exclus).
Exemple de ecuații funcționale
Să vedem câteva exemple de ecuații funcționale rezolvate:
f (1 / 2x) = x-3f (x)
Deci, dacă înlocuiesc x cu 1/2 / x:
f (1/2 (1 / 2x)) = (1 / 2x) -3f (1 / 2x)
f (x) = (1 / 2x) -3f (1 / 2x)
f (x) = (1 / 2x) -3 (x-3f (x))
f (x) = (1 / 2x) -3x + 9f (x)
8f (x) = 3x- (1 / 2x)
f (x) = (3/8) x- (1 / 16x)
Acum, să vedem un alt exemplu cu ceva mai multă dificultate, dar în care vom proceda în mod similar:
X2f (x) -f (5-x) = 3x … (1)
În acest caz, mai întâi rezolvăm pentru f (5-x)
f (5-x) = x2f (x) -3x … (2)
Acum, înlocuiesc x cu 5-x în ecuația 1:
(5-x)2f (5-x) -f (5- (5-x)) = 3 (5-x)
(25-10x + x2) .f (5-x) -f (x) = 15-3x
Ne amintim că f (5-x) se află în ecuația 2:
(25-10x + x2). (X2f (x) -3x) -f (x) = 15-3x
25x2-75x-10x3f (x) + 30x2+ x4f (x) -3x3-f (x) = 15-3x
f (x) (x4-10x3-1) = 3x3-55x2+ 72x
f (x) = (3x3-55x2+ 72x) / (x4-10x3-1)
Ecuația funcțională a lui Cauchy
Funcția funcțională Cauchy este una dintre cele mai elementare de acest gen. Această ecuație are următoarea formă:
f (x + y) = f (x) + f (y)
Presupunând că x și y se află în mulțimea numerelor raționale, soluția acestei ecuații ne spune că f (x) = cx, unde c este orice constantă, la fel se întâmplă și cu f (y).
