Estimarea probabilității maxime și GARCH

Estimarea maximă a probabilității (VLE) și modelul GARCH sunt două instrumente econometrice utilizate pe scară largă pentru a face predicții cu privire la gradul de dispersie al unui eșantion dat într-o perioadă de timp printr-o auto-agresiune.

Cu alte cuvinte, atât EMV, cât și GARCH sunt utilizate împreună pentru a găsi volatilitatea medie pe termen mediu a unui activ financiar prin autoregresare.

Articole recomandate: model autoregresiv (AR), GARCH și EMV.

GARCH

Formula modelului GARCH (p, q):

Unde

Coeficienți

Coeficienții modelului GARCH (p, q) sunt

• Constanta

Cu

ele determină nivelul mediu de volatilitate pe termen mediu. Restricționăm constanta la valori mai mari de 0, adică (a + b)> 0.

• Parametrul de eroare

determină reacția de volatilitate la șocurile pieței. Deci, dacă acest parametru este mai mare de 0,1, indică faptul că volatilitatea este foarte sensibilă atunci când există schimbări pe piață. Limităm parametrul de eroare la valori mai mari de 0, adică la> 0.

• Parametru

determină cu cât volatilitatea curentă este apropiată de volatilitatea medie pe termen mediu. Deci, dacă acest parametru este mai mare de 0,9 înseamnă că nivelul de volatilitate va rămâne după un șoc de piață.

• Restricționăm

să fie mai mic de 1, adică (a + b) <1.

Important

Deși acești coeficienți sunt obținuți de EMV depind indirect de caracteristicile eșantionului. Deci, dacă un eșantion este alcătuit din randamente zilnice, vom obține rezultate diferite față de un eșantion format din randamente anuale.

EMV

EMV maximizează probabilitatea parametrilor oricărei funcții de densitate care depinde de distribuția probabilității și de observațiile din eșantion.

Deci, atunci când dorim să obținem o estimare a parametrilor modelului GARCH, folosim funcția logaritmică de maximă probabilitate. În modelul GARCH presupunem că perturbarea urmează o distribuție normală standard cu media 0 și varianță:

Apoi, va trebui să aplicăm logaritmi funcției de densitate a unei distribuții normale și vom găsi funcția de maximă probabilitate.

Proces

• Scrieți funcția de densitate. În acest caz, din distribuția normală a probabilității.

Dacă derivăm funcția de densitate în raport cu parametrii săi, găsim condițiile de primă ordine (CPO):

Vi se par familiare formulele din dreapta? Acestea sunt faimoasa medie și varianța eșantionului. Aceștia sunt parametrii funcției de densitate.

• Aplicăm logaritmi naturali:

• Fixăm funcția de mai sus:

• Pentru a obține estimări de maximă probabilitate ale parametrilor anteriori, trebuie:

Cu alte cuvinte, pentru a găsi estimări ale parametrilor GARCH cu probabilitate maximă trebuie să maximizăm funcția de maximă probabilitate (funcția anterioară).

Aplicație

De fiecare dată când dorim să găsim funcția logaritmică de maximă probabilitate, va trebui să facem pașii anteriori? Depinde.

Dacă presupunem că frecvența observațiilor poate fi aproximată în mod satisfăcător la o distribuție standard normală de probabilitate, atunci va trebui să copiem doar ultima funcție.

Dacă presupunem că frecvența observațiilor poate fi aproximată în mod satisfăcător la distribuția t Student, va trebui să standardizăm datele și să aplicăm logaritmi funcției densității t Student. În concluzie, efectuați toți pașii de mai sus.