Teorema limitei centrale (TCL) este o teorie statistică care afirmă că, având în vedere un eșantion aleatoriu suficient de mare din populație, distribuția mijloacelor eșantionului va urma o distribuție normală.
Mai mult, TCL afirmă că pe măsură ce mărimea eșantionului crește, media eșantionului se va apropia de media populației. Prin urmare, prin intermediul TCL putem defini distribuția eșantionului mediu al unei anumite populații cu o varianță cunoscută. Deci distribuția va urma o distribuție normală dacă dimensiunea eșantionului este suficient de mare.
Principalele proprietăți ale teoremei limitei centrale
Teorema limitei centrale are o serie de proprietăți foarte utile în câmpul statistic și probabilistic. Principalele sunt:
- Dacă dimensiunea eșantionului este suficient de mare, distribuția mijloacelor eșantionului va urma aproximativ o distribuție normală. TCL consideră un eșantion ca fiind mare atunci când dimensiunea acestuia este mai mare de 30. Prin urmare, dacă eșantionul este mai mare de 30, media eșantionului va avea o funcție de distribuție apropiată de una normală. Și acest lucru este adevărat, indiferent de forma distribuției cu care lucrăm.
- Media populației și media eșantionului vor fi aceleași. Adică media distribuției tuturor eșantioanelor va fi egală cu media populației totale.
- Varianța distribuției mediei eșantionului va fi σ² / n. Care este varianța populației împărțită la dimensiunea eșantionului.
Faptul că distribuția eșantionului înseamnă că seamănă cu unul normal este extrem de util. Deoarece distribuția normală este foarte ușor de aplicat pentru efectuarea testelor de ipoteză și construirea intervalelor de încredere. În statistici, faptul că o distribuție este normală este destul de importantă, deoarece multe statistici necesită acest tip de distribuție. În plus, TCL ne va permite să deducem despre media populației prin media eșantionului. Și acest lucru este foarte util atunci când, din lipsa mijloacelor, nu putem colecta date de la o întreagă populație.
Exemplu al teoremei limitei centrale
Să ne imaginăm că vrem să analizăm randamentele medii istorice ale indicelui S&P 500, care, după cum știm, are în jur de 500 de companii. Dar nu avem suficiente informații pentru a analiza toate cele 500 de companii din index. În acest caz, rentabilitatea medie a S&P 500 ar fi media populației.
Acum, urmând TCL, putem lua un eșantion din aceste 500 de companii pentru a efectua analiza. Singura limitare pe care o avem este că în eșantion trebuie să existe mai mult de 30 de companii pentru ca teorema să fie îndeplinită. Deci, să ne imaginăm că alegem aleatoriu 50 de companii din index și repetăm procesul de mai multe ori. Pașii de urmat în exemplu ar fi următorii:
- Alegem eșantionul a aproximativ 50 de companii și obținem profitabilitatea medie a întregului eșantion.
- Alegem continuu 50 de companii și obținem profitabilitatea medie.
- Distribuția tuturor randamentelor medii ale tuturor eșantioanelor alese va aproxima o distribuție normală.
- Randamentele medii ale tuturor eșantioanelor selectate vor aproxima randamentele medii ale indicelui total. Așa cum se arată în teorema limitei centrale.
Prin urmare, prin deducția din randamentul mediu al eșantionului putem aborda randamentul mediu al indicelui.