Teorema Gauss-Markov este un set de ipoteze pe care trebuie să le îndeplinească un estimator OLS (Ordinary Least Squares) pentru a fi considerat ELIO (Estimator liniar optim fără prejudecăți). ȘITeorema lui Gauss-Markov a fost formulată de Carl Friederich Gauss și Andrei Markov.
Carl Friederich Gauss și Andréi Márkov au stabilit câteva ipoteze, astfel încât un estimator OLS să poată deveni ELIO.
Dacă aceste 5 ipoteze sunt îndeplinite, putem afirma că estimatorul este cel cu varianța minimă (cea mai precisă) dintre toți estimatorii liniari și imparțiali. În cazul în care oricare dintre ipotezele primelor trei eșuează (Liniaritate, exogenitate medie strictă nulă sau fără multicoliniaritate perfectă), estimatorul OLS nu mai este imparțial. Dacă doar 4 sau 5 eșuează (Homoscedasticitate și Fără autocorelare), estimatorul este încă liniar și imparțial, dar nu mai este cel mai precis. Rezumând, teorema lui Gauss-Markov afirmă că:
- În ipotezele 1, 2 și 3, estimatorul OLS este liniar și imparțial. Acum, atâta timp cât primele trei ipoteze sunt îndeplinite, se poate asigura că estimatorul este imparțial. Pentru ca estimatorul să fie consecvent, trebuie să avem un eșantion mare, cu atât mai mult cu atât mai bine.
- În ipotezele 1, 2, 3, 4 și 5, estimatorul OLS este liniar, imparțial și optim (ELIO).
Ipoteze ale teoremei lui Gauss-Markov
Mai exact, există 5 ipoteze:
1. Model liniar în parametri
Este o presupunere destul de flexibilă. Permite utilizarea funcțiilor variabilelor de interes.
2. Nula exogenitate medie și strictă
Aceasta implică faptul că valoarea medie a erorii condiționată de explicații este egală cu valoarea așteptată necondiționată și este egală cu zero. Mai mult, o exogenitate strictă necesită ca erorile modelului să nu fie corelate cu observații.
Nul înseamnă:
Exogenitate strictă:
Valoarea medie nulă și exogenitatea strictă eșuează dacă:
- Modelul este slab specificat (omiterea variabilelor relevante, de exemplu).
- Există erori de măsurare în variabile (datele nu au fost revizuite).
- În seriile de timp, exogenitatea strictă eșuează în modelele de endogenitate întârziată (deși poate exista o exogenitate contemporană) și în cazurile în care există efecte de feedback.
În datele cu secțiuni transversale este mult mai ușor să se realizeze presupunerea exogenității decât în cazul seriilor temporale.
3. Fără multicoliniaritate exactă
În eșantion, niciuna dintre variabilele explicative nu este constantă. Nu există relații liniare exacte între variabilele explicative. Nu exclude o corelație (nu perfectă) între variabile. Potrivit lui Gauss și Markov, atunci când un model are multicoliniaritate exactă, se datorează de obicei erorii unui analist.
4. Homoscedasticitate
Varianța erorii și, prin urmare, a lui Y, este independentă de valorile explicative și, în plus, varianța erorii constante. Matematic se exprimă ca:
Iată o serie de date cu aspect homoscedastic.
5. Fără autocorelare
Termenii de eroare ai două observații diferite condiționate de X nu au legătură. Dacă eșantionul este aleator, nu va exista autocorelare.
Unde trebuie să am o valoare diferită de h. Dacă eșantionul este aleator, datele și erorile de observare „i” și „h” vor fi independente pentru orice pereche de observații „i” și „h”.